oh Diagramma di Venn, noto anche come diagramma di Venn-Eulero, è a modo per rappresentare graficamente un insieme, per questo usiamo una linea chiusa che non ha autointersezione e rappresentiamo gli elementi dell'insieme all'interno di questa linea. L'idea del diagramma è quella di facilitare la comprensione nel operazioni di base sugli insiemi, quali: relazione di inclusione e appartenenza, unione e intersezione, differenza e insieme complementare.
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Rappresentazioni del diagramma di Venn
Come mostrato, il diagramma di Venn è costituito da una linea chiusa (non intrecciata) sulla quale “posiamo” gli elementi dell'insieme in questione, quindi possiamo rappresentano uno o più insiemi contemporaneamente. Guarda gli esempi:
• Set singolo
Possiamo rappresentarti usando un'unica linea chiusa, ad esempio, rappresentiamo l'insieme A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Tra due set
Dobbiamo realizzare due grafici come quello per la rappresentazione del singolo insieme. Tuttavia, dalle operazioni con gli insiemi sappiamo che: dati due insiemi, possono o non possono intersecarsi. Se i due insiemi non si intersecano, vengono nominati
insiemi disgiunti.Esempio 1
Traccia, usando il diagramma di Venn, gli insiemi A = {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e f, g, h, i}.
Nota che l'intersezione è la parte del diagramma che appartiene ai due insiemi, proprio come nella definizione.
A ∩ B = {d, e, f}
Esempio 2
Traccia gli insiemi C = {a, b, c, d} e D = {e, f, g, h}.
Si noti che l'intersezione di questi insiemi è vuota, in quanto non ha alcun elemento che appartenga contemporaneamente a entrambi, ovvero:
C ∩ D = { }
• Tra tre set
L'idea alla base della rappresentazione che utilizza il diagramma di Venn per tre insiemi è simile alla rappresentazione tra due insiemi. In questo senso, gli insiemi possono essere disgiunti uno per uno, cioè non hanno alcuna intersezione; oppure possono essere disgiunti a due a due, cioè solo due di essi si intersecano; o tutti si intersecano.
Esempio
Rappresentazione, mediante il diagramma di Venn, degli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} e C = {d, e, c, h}.
Vedi anche: Importanti annotazioni sugli insiemi
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rapporto di appartenenza
La relazione di appartenenza ci permette di dire se un elemento appartiene o meno a un certo insieme. Per questo usiamo i simboli:
Considera l'insieme A = {a, b, c, d}. Analizzandolo, ci rendiamo conto che g, ad esempio, non gli appartiene, quindi nel diagramma di Venn abbiamo:
Relazione di inclusione
La relazione di inclusione ci permette di dire se un insieme è contenuto o meno in un altro insieme. Quando un insieme è contenuto in un altro, si dice che è a sottoinsieme. Per questo usiamo i simboli:
Un esempio di ciò è la relazione tra l'insieme di numeri naturali e set di numeri interi. Sappiamo che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi, cioè l'insieme dei naturali è contenuto nell'insieme degli interi.
Operazioni tra i set
Le operazioni di base tra due o più insiemi sono: unità, intersezione e differenza tra due set.
• Unione
L'unione tra due insiemi si forma unendo gli elementi contenuti in ciascun insieme, in altre parole: si considerano tutti gli elementi dei due insiemi. Guarda:
Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. L'unione tra loro è data da:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Nel diagramma di Venn, abbiamo ombreggiato la parte dell'unione, ovvero entrambi gli insiemi, controlla:
• Intersezione
L'intersezione è un nuovo insieme numerico formato da elementi che appartengono, contemporaneamente, ad altri insiemi. In generale, l'intersezione tra gli insiemi nel diagramma di Venn è data dalla parte comune ai grafici coinvolti. Guarda:
Considerando ancora gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, si ha che gli elementi che appartengono all'insieme A e all'insieme B, contemporaneamente, sono :
A ∩ B = {3,4}
• Differenza tra due set
Consideriamo due insiemi C e D, la differenza tra loro (C – D) sarà un nuovo insieme formato da elementi appartenenti a C e non appartenenti a D. In generale, possiamo rappresentare questa differenza, usando il diagramma di Venn, come segue:
esercizi risolti
domanda 1 – (Ufal) Nella figura seguente sono stati rappresentati gli insiemi non disgiunti A, B e C. La regione colorata rappresenta l'insieme:
a) C - (A ∩ B)
b) (LA ∩ SI) – DO
c) (LA U B) - DO
d) A U B U C
e) LA ∩ SI ∩ DO
Soluzione
Alternativa B.
Ricordando le operazioni con gli insiemi, sappiamo che l'intersezione tra due insiemi nel diagramma di Venn è data dalla parte ad essi comune. Considerando gli insiemi A, B e C e colorando l'intersezione degli insiemi A ∩ B, si ha:
Titolo: Soluzione domanda1 - parte 1
Si noti che se togliamo gli elementi dall'insieme C, otteniamo la parte colorata richiesta dall'esercizio, cioè dobbiamo prima evidenziare l'intersezione e poi rimuovere gli elementi da C.
(LA ∩ SI) – DO
Domanda 2 – (Uerj) I bambini di una scuola hanno partecipato a una campagna di vaccinazione contro la paralisi infantile e il morbillo. Dopo la campagna, è stato scoperto che l'80% dei bambini ha ricevuto il vaccino contro la paralisi, il 90% ha ricevuto il vaccino contro il morbillo e il 5% non ha ricevuto nessuno dei due.
Determinare la percentuale di bambini di questa scuola che hanno ricevuto entrambi i vaccini.
Soluzione
Poiché la percentuale di bambini che hanno ricevuto entrambi i vaccini è sconosciuta, inizialmente chiamiamola x. Ricorda che non dobbiamo operare con il simbolo %, ma scrivere le percentuali degli esercizi nella loro forma decimale o frazionaria.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Per scoprire il numero totale di bambini che hanno preso solo il vaccino contro la paralisi, abbiamo sottratto la percentuale verificata (80%) della percentuale di coloro che hanno preso entrambi (x), e lo stesso dovrebbe essere fatto per i bambini che hanno preso solo il vaccino contro il morbillo. Così:
Unendo tutti i figli la percentuale sarà del 100%, quindi:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
– x = 1 – 1,75
(–1) · – x = – 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Pertanto, il 75% dei bambini della scuola aveva entrambi i vaccini.
di L.do Robson Luiz
Insegnante di matematica
