Diagramma di Venn: cos'è, a cosa serve, esempi

oh Diagramma di Venn, noto anche come diagramma di Venn-Eulero, è a modo per rappresentare graficamente un insieme, per questo usiamo una linea chiusa che non ha autointersezione e rappresentiamo gli elementi dell'insieme all'interno di questa linea. L'idea del diagramma è quella di facilitare la comprensione nel operazioni di base sugli insiemi, quali: relazione di inclusione e appartenenza, unione e intersezione, differenza e insieme complementare.

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Rappresentazioni del diagramma di Venn

Come mostrato, il diagramma di Venn è costituito da una linea chiusa (non intrecciata) sulla quale “posiamo” gli elementi dell'insieme in questione, quindi possiamo rappresentano uno o più insiemi contemporaneamente. Guarda gli esempi:

• Set singolo

Possiamo rappresentarti usando un'unica linea chiusa, ad esempio, rappresentiamo l'insieme A = {1, 3, 5, 7, 9}:

• Tra due set

Dobbiamo realizzare due grafici come quello per la rappresentazione del singolo insieme. Tuttavia, dalle operazioni con gli insiemi sappiamo che: dati due insiemi, possono o non possono intersecarsi. Se i due insiemi non si intersecano, vengono nominati

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insiemi disgiunti.

Esempio 1

Traccia, usando il diagramma di Venn, gli insiemi A = {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e f, g, h, i}.

Nota che l'intersezione è la parte del diagramma che appartiene ai due insiemi, proprio come nella definizione.

A ∩ B = {d, e, f}

Esempio 2

Traccia gli insiemi C = {a, b, c, d} e D = {e, f, g, h}.

Si noti che l'intersezione di questi insiemi è vuota, in quanto non ha alcun elemento che appartenga contemporaneamente a entrambi, ovvero:

C ∩ D = { }

• Tra tre set

L'idea alla base della rappresentazione che utilizza il diagramma di Venn per tre insiemi è simile alla rappresentazione tra due insiemi. In questo senso, gli insiemi possono essere disgiunti uno per uno, cioè non hanno alcuna intersezione; oppure possono essere disgiunti a due a due, cioè solo due di essi si intersecano; o tutti si intersecano.

Esempio

Rappresentazione, mediante il diagramma di Venn, degli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} e C = {d, e, c, h}.

Vedi anche: Importanti annotazioni sugli insiemi

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rapporto di appartenenza

La relazione di appartenenza ci permette di dire se un elemento appartiene o meno a un certo insieme. Per questo usiamo i simboli:

Considera l'insieme A = {a, b, c, d}. Analizzandolo, ci rendiamo conto che g, ad esempio, non gli appartiene, quindi nel diagramma di Venn abbiamo:

Relazione di inclusione

La relazione di inclusione ci permette di dire se un insieme è contenuto o meno in un altro insieme. Quando un insieme è contenuto in un altro, si dice che è a sottoinsieme. Per questo usiamo i simboli:

Un esempio di ciò è la relazione tra l'insieme di numeri naturali e set di numeri interi. Sappiamo che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi, cioè l'insieme dei naturali è contenuto nell'insieme degli interi.

Operazioni tra i set

Le operazioni di base tra due o più insiemi sono: unità, intersezione e differenza tra due set.

• Unione

L'unione tra due insiemi si forma unendo gli elementi contenuti in ciascun insieme, in altre parole: si considerano tutti gli elementi dei due insiemi. Guarda:

Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. L'unione tra loro è data da:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Nel diagramma di Venn, abbiamo ombreggiato la parte dell'unione, ovvero entrambi gli insiemi, controlla:

• Intersezione

L'intersezione è un nuovo insieme numerico formato da elementi che appartengono, contemporaneamente, ad altri insiemi. In generale, l'intersezione tra gli insiemi nel diagramma di Venn è data dalla parte comune ai grafici coinvolti. Guarda:

Considerando ancora gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, si ha che gli elementi che appartengono all'insieme A e all'insieme B, contemporaneamente, sono :

A ∩ B = {3,4}

• Differenza tra due set

Consideriamo due insiemi C e D, la differenza tra loro (C – D) sarà un nuovo insieme formato da elementi appartenenti a C e non appartenenti a D. In generale, possiamo rappresentare questa differenza, usando il diagramma di Venn, come segue:

esercizi risolti

domanda 1 – (Ufal) Nella figura seguente sono stati rappresentati gli insiemi non disgiunti A, B e C. La regione colorata rappresenta l'insieme:

a) C - (A ∩ B)

b) (LA ∩ SI) – DO

c) (LA U B) - DO

d) A U B U C

e) LA ∩ SI ∩ DO

Soluzione

Alternativa B.

Ricordando le operazioni con gli insiemi, sappiamo che l'intersezione tra due insiemi nel diagramma di Venn è data dalla parte ad essi comune. Considerando gli insiemi A, B e C e colorando l'intersezione degli insiemi A ∩ B, si ha:

Titolo: Soluzione domanda1 - parte 1

Si noti che se togliamo gli elementi dall'insieme C, otteniamo la parte colorata richiesta dall'esercizio, cioè dobbiamo prima evidenziare l'intersezione e poi rimuovere gli elementi da C.

(LA ∩ SI) – DO

Domanda 2 – (Uerj) I bambini di una scuola hanno partecipato a una campagna di vaccinazione contro la paralisi infantile e il morbillo. Dopo la campagna, è stato scoperto che l'80% dei bambini ha ricevuto il vaccino contro la paralisi, il 90% ha ricevuto il vaccino contro il morbillo e il 5% non ha ricevuto nessuno dei due.

Determinare la percentuale di bambini di questa scuola che hanno ricevuto entrambi i vaccini.

Soluzione

Poiché la percentuale di bambini che hanno ricevuto entrambi i vaccini è sconosciuta, inizialmente chiamiamola x. Ricorda che non dobbiamo operare con il simbolo %, ma scrivere le percentuali degli esercizi nella loro forma decimale o frazionaria.

80 % → 0,8

90% → 0,9

5% → 0,05

100% → 1

Per scoprire il numero totale di bambini che hanno preso solo il vaccino contro la paralisi, abbiamo sottratto la percentuale verificata (80%) della percentuale di coloro che hanno preso entrambi (x), e lo stesso dovrebbe essere fatto per i bambini che hanno preso solo il vaccino contro il morbillo. Così: