Teorema di D'Alembert

Il teorema di D'Alembert è una conseguenza immediata del teorema dei resti, che riguarda la divisione di polinomi per binomi di tipo x – a. Il teorema del resto dice che un polinomio G(x) diviso per un binomio x – a avrà resto R uguale a P(a), per
x = a. Il matematico francese D'Alembert dimostrò, tenendo conto del teorema sopra citato, che un polinomio qualsiasi Q(x) sarà divisibile per x – a, cioè il resto della divisione sarà uguale a zero (R = 0) se P(a) = 0.
Questo teorema ha reso più facile calcolare la divisione del polinomio per binomio (x –a), quindi non è necessario risolvere l'intera divisione per sapere se il resto è uguale o diverso da zero.
Esempio 1
Calcola il resto della divisione (x² + 3x – 10): (x – 3).
Come dice il Teorema di D'Alembert, il resto (R) di questa divisione sarà uguale a:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Quindi il resto di questa divisione sarà 8.
Esempio 2
Controlla se x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 è divisibile per x – 1.
Secondo D'Alembert, un polinomio è divisibile per un binomio se P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Poiché P(1) è diverso da zero, il polinomio non sarà divisibile per il binomio x – 1.
Esempio 3
Calcola il valore di m in modo che il resto della divisione del polinomio
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 per x – 2 è 6.
Abbiamo che, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Esempio 4
Calcola il resto della divisione del polinomio 3x³ + x² – 6x + 7 per 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana

polinomi - Matematica - Scuola Brasile

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm