Produk internal antara dua vektor

HAI perkalian titik antara dua vektor vector adalah bilangan real yang menghubungkan besarnya vektor-vektor ini, yaitu panjangnya, dan sudut di antara mereka. Untuk menghitungnya, perlu diketahui panjang dan sudut yang dibentuknya.

Menggunakan bidang sebagai dasar, sebuah vektor menunjukkan lokasi, intensitas, arah dan arah. Oleh karena itu, digunakan dalam studi Mekanika (Fisika) sebagai perwakilan dari gaya yang diterapkan pada suatu objek.

Representasi vektor yang biasa adalah panah yang berakhir di suatu titik. Koordinat titik ini dikatakan sebagai koordinat vektor yang dimulai dari titik O (0,0). Kami menulis v = (a, b) untuk mewakilinya. Dengan demikian, vektor v = (1,2) digambarkan sebagai berikut:

Contoh vektor mulai dari asal

Untuk menghitung panjang vektor ini, perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk olehnya dan proyeksinya pada sumbu x (atau sumbu y), seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Panjang vektor v

Panjang vektor v disebut v norma vektor atau modul vektor v dan diwakili oleh |v|. Perhatikan bahwa norma dari vektor v = (a, b) adalah ukuran hipotenusa dari segitiga yang ditunjukkan pada gambar di atas. Untuk menghitung ukuran ini, kami menggunakan Teorema Pythagoras:

|v|² = itu² + b²

|v| = (a² + b² )

Produk dua titik vektor

Diberikan dua vektor u dan v, produk dalam antara keduanya diwakili oleh dan didefinisikan sebagai:

= |u||v|·cosθ

Ini adalah jenis perkalian antara dua vektor, tetapi tidak disebut perkalian karena bukan perkalian biasa, karena melibatkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor ini.

Sudut antara dua vektor

Hasil pertama yang timbul dari definisi di atas adalah sudut antara dua vektor. Dengan bilangan real “perkalian titik”, “norma vektor u” dan “norma vektor v”, sudut antara vektor u dan v dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup lakukan perhitungan:

Jangan berhenti sekarang... Ada lagi setelah iklan ;)

= |u||v|·cosθ

= cosθ
|u||v|

Oleh karena itu, membagi produk dalam dengan norma-norma vektor u dan v, kami menemukan bilangan real yang mengacu pada kosinus antara dua vektor ini dan, oleh karena itu, sudut di antara keduanya.

Perhatikan bahwa jika sudut antara dua vektor lurus, cosθ sama dengan nol. Oleh karena itu, produk di atas akan memiliki hasil sebagai berikut:

= 0

Dari sini, dapat disimpulkan bahwa, diberikan dua vektor u dan v, mereka akan ortogonal jika = 0.

Produk dalam dihitung dari koordinat vektor

Mengingat dua vektor u = (a, b) dan v = (c, d), produk titik antara u dan v diberikan oleh:

= = a·c + b·d

Properti produk internal

Mengingat vektor u, v dan w dan bilangan real, perhatikan:

saya) =

Ini berarti bahwa hasil kali dalam vektor adalah “komutatif”.

ii) = +

Sifat ini sebanding dengan distributifitas perkalian terhadap penjumlahan.

iii) = = α

Menghitung hasilkali dalam antara u dan v dikalikan dengan bilangan real sama dengan menghitung hasilkali dalam antara v dan u atau antara v dan u.

iv) = 0 <=> v = 0

Hasilkali dalam dari v dengan v hanya nol jika v adalah vektor nol.

v) 0 untuk semua v.

Hasilkali dalam dari v dengan v akan selalu lebih besar dari atau sama dengan nol.

Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika