menghitung faktorial dari angka hanya masuk akal ketika kita bekerja dengan bilangan asli. Operasi ini cukup umum di analisis kombinatorial, memfasilitasi perhitungan pengaturan, permutasi, kombinasi dan masalah lain yang melibatkan penghitungan. faktorialnya adalah dilambangkan dengan simbol “!”. Kami mendefinisikannya sebagai n! (n faktorial) ke perkalian n dengan semua pendahulunya sampai mencapai 1. tidak! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Baca juga: Prinsip dasar penghitungan - konsep utama analisis kombinatorial
Apa itu faktorial?
Faktorial adalah operasi yang sangat penting untuk studi dan pengembangan analisis kombinatorial. Dalam matematika, bilangan yang diikuti oleh tanda seru (!) dikenal sebagai faktorial, misalnya x! (x faktorial).
Kita ketahui sebagai faktorial dari bilangan asli Itu mengalikan angka ini dengan pendahulunya kecuali nol, yaitu:
tidak! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
Patut dicatat bahwa, agar operasi ini masuk akal, n adalah bilangan asli, yaitu, kita tidak menghitung faktorial dari bilangan negatif, atau bahkan bilangan desimal, atau pecahan.
perhitungan faktorial
Untuk menemukan faktorial suatu bilangan, cukup hitung produknya. Perhatikan juga bahwa faktorial adalah operasi yang, ketika meningkatkan nilai n, hasilnya juga akan meningkat banyak.
Contoh:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Menurut definisi, kami memiliki:
0! = 1
1! = 1
Operasi faktorial
Untuk menyelesaikan operasi faktorial, penting untuk berhati-hati agar tidak membuat kesalahan. Ketika kita akan menjumlahkan, mengurangi atau mengalikan dua faktorial, kita perlu menghitung masing-masing faktor secara terpisah. Hanya divisi yang memiliki cara khusus untuk melakukan penyederhanaan. Jangan membuat kesalahan dengan melakukan operasi dan menjaga faktorial, baik untuk penjumlahan dan pengurangan atau untuk perkalian.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Saat menyelesaikan salah satu dari operasi ini, kita harus menghitung masing-masing faktorial.
Contoh:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Lihat juga: Bagaimana cara menyelesaikan persamaan dengan faktorial?
Penyederhanaan faktorial
Divisi cukup berulang. Dalam rumus kombinasi, pengaturan dan permutasi dengan pengulangan, kami akan selalu menggunakan penyederhanaan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan faktorial. Untuk itu, yuk ikuti beberapa langkahnya.
Contoh:
langkah pertama: tentukan faktorial terbesar — dalam hal ini adalah 8! Sekarang, menganalisis penyebutnya, yaitu 5!, mari kita tulis perkalian 8 dengan pendahulunya sampai kita mendapatkan 5!.
Faktorial suatu bilangan n, yaitu n!, dapat ditulis ulang sebagai perkalian n ke k!. Jadi,
tidak! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, jadi mari kita tulis ulang 8! seperti perkalian dari 8 menjadi 5!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Jadi mari kita tulis ulang alasannya sebagai:
langkah ke-2: setelah menulis ulang alasan, pembilang dengan penyebut dapat disederhanakan, karena 5! itu ada di pembilang dan penyebutnya. Setelah disederhanakan, tinggal melakukan perkalian.
Contoh 2:
Analisis Kombinasi dan Faktor
Saat melakukan studi lebih lanjut dalam analisis kombinatorial, faktorial suatu bilangan akan selalu muncul. Pengelompokan utama dalam analisis kombinatorial, yaitu permutasi, kombinasi, dan pengaturan, menggunakan faktorial suatu bilangan dalam rumusnya.
Permutasi
ITU permutasi dan menata ulang semua elemen himpunan. Untuk menghitung permutasi, kami menggunakan faktorial, karena permutasi n elemen dihitung dengan:
Ptidak = n!
Contoh:
Berapa banyak anagram bisakah kita membangun dengan nama HEITOR?
Ini adalah masalah permutasi yang khas. Karena ada 6 huruf dalam namanya, untuk menghitung jumlah anagram yang mungkin, hitung saja P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Juga akses: Permutasi dengan elemen berulang: bagaimana menyelesaikannya?
Pengaturan
Menghitung pengaturan itu juga membutuhkan penguasaan faktorial suatu bilangan. Susunan, seperti halnya permutasi, adalah pembentukan susunan ulang. Perbedaannya adalah, dalam pengaturan, kami menyusun ulang bagian dari set, yaitu, kita ingin mengetahui berapa banyak kemungkinan pemesanan ulang yang dapat kita bentuk dengan memilih kuantitas k dari satu set dengan n elemen.
Contoh:
Dalam sebuah perusahaan, ada 6 calon untuk mengelola lembaga, dan dua akan dipilih untuk posisi direktur dan wakil direktur. Mengetahui bahwa mereka akan dipilih melalui pemungutan suara, berapa banyak kemungkinan hasil yang ada?
Dalam hal ini, kami akan menghitung susunan 6 yang diambil dari 2 dengan 2, karena ada 6 kandidat untuk dua lowongan.
Kombinasi
Dalam kombinasi, seperti yang lain, perlu untuk menguasai faktorial suatu bilangan. Kami mendefinisikan sebagai kombinasi kamu himpunan bagian dari himpunan. Bedanya, dalam kombinasi, tidak ada penataan ulang, karena urutannya tidak penting. Jadi kita menghitung berapa banyak himpunan bagian dengan k elemen yang dapat kita bentuk dalam himpunan n elemen.
Contoh:
Sebuah komite yang terdiri dari 3 siswa akan dipilih untuk mewakili kelas. Mengetahui bahwa ada 5 kandidat, berapa banyak komisi yang dapat dibentuk?
Baca juga: Susunan atau kombinasi?
Latihan terpecahkan
Pertanyaan 1 - Tentang faktorial suatu bilangan, tentukan pernyataan berikut.
SAYA). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Hanya saya yang benar.
B) Hanya II yang benar.
C) Hanya III yang benar.
D. Hanya I dan II yang benar.
E) Hanya II dan II yang benar.
Resolusi
Alternatif A
Saya) Benar.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Salah.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Salah.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Pertanyaan 2 - (UFF) Apakah produk 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 setara dengan?
J) 20:2
B) 2·10!
C) 20:210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Resolusi
Alternatif D
Melihat produk dari semua bilangan genap dari 2 hingga 20, kita tahu bahwa:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Jadi kita bisa menulis ulang sebagai 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika