Penyederhanaan pecahan aljabar

Kapanpun kata "aljabar" digunakan untuk ekspresi numerik, itu berarti ekspresi itu memiliki setidaknya satu yang tidak diketahui, yaitu huruf atau simbol yang digunakan untuk mewakili angka tidak diketahui. Jadi, pecahan aljabar, pada gilirannya, tidak lebih dari pecahan yang memiliki setidaknya satu yang tidak diketahui di penyebut (bagian bawah pecahan). Oleh karena itu, penyederhanaan pecahan aljabar mengikuti dasar yang sama dengan penyederhanaan pecahan numerik.

Contoh pecahan aljabar adalah:

1)

2x
4 tahun

2)

4 tahun² – 9x²
2 tahun + 3x

Menyederhanakan pecahan aljabar

Menyederhanakan pecahan aljabar mengikuti dasar yang sama seperti menyederhanakan pecahan numerik. Pembilang dan penyebut harus dibagi dengan angka yang sama. Perhatikan contoh penyederhanaan pecahan:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Pecahan di atas disederhanakan dengan 2, kemudian dengan 3 dan kemudian dengan 5. Untuk mendukung prosedur penyederhanaan pecahan aljabar, kita akan menulis ulang pecahan pertama di atas dalam bentuk faktornya:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Perhatikan bahwa angka 2, 3, dan 5 diulang dalam pembilang dan penyebut dan bahwa mereka adalah angka yang persis sama dengan pecahan yang disederhanakan. Dalam konteks pecahan aljabar, prosedurnya mirip, apa adanya diperlukan untuk memfaktorkan polinomial yang ada dalam pembilang dan penyebutnya. Setelah itu, kita harus menilai apakah mungkin untuk menyederhanakan beberapa di antaranya.

Contoh

1) Sederhanakan pecahan aljabar berikut:

4x²kamu³
16xy⁶

Faktorkan masing-masing yang tidak diketahui dan angka yang ada dalam pecahan:

4x²kamu³
16xy⁶

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

Sekarang lakukan pembagian sebanyak mungkin, seperti yang Anda lakukan sebelumnya untuk pecahan numerik: Angka-angka yang muncul di pembilang dan penyebut menghilang, yaitu: "memotong". Dimungkinkan juga untuk menulis bahwa hasil dari masing-masing penyederhanaan ini adalah 1. Menonton:

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

x
2·2·y·y·y

x
4 tahun³

2) Sederhanakan pecahan aljabar berikut:

4 tahun² – 9x²
2 tahun + 3x

Perhatikan bahwa pembilangnya pecahan aljabar jatuh ke dalam salah satu kasus produk terkenal, yaitu, selisih dua kuadrat. Untuk memfaktorkannya, cukup tulis ulang dalam bentuk faktornya. Setelah itu, dimungkinkan untuk “memotong” suku-suku yang muncul baik pada penyebut maupun pembilangnya seperti pada contoh sebelumnya. Menonton:

4 tahun² – 9x²
2 tahun + 3x

= (2 tahun + 3x) (2 tahun - 3x)
2 tahun + 3x

= 1·(2y – 3x)

= 2y + 3x

3) Sederhanakan pecahan aljabar berikut:

Itu²(kamu² – 16x²)
ay + 4x

Seperti yang telah dilakukan sebelumnya, faktorkan polinomial yang ada dalam pembilang dan penyebutnya. Setelah itu, lakukan pembagian yang memungkinkan.

Itu²(kamu² – 16x²)
ay + 4x

= Itu·Itu·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

Perhatikan bahwa pembilangnya telah difaktorkan menggunakan selisih dua kuadrat dan penyebutnya difaktorkan melalui faktor persekutuan. Selain itu, istilah² dapat ditulis sebagai produk a·a. Terakhir, lakukan sebanyak mungkin divisi. Yaitu, a oleh a dan (y + 4x) oleh (y + 4x):

Itu·Itu·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

= 1·1·(y – 4x)

= y - 4x

Kasus faktorisasi sangat penting untuk menyederhanakan pecahan aljabar. Di bawah ini adalah daftar kasus yang paling penting dan beberapa halaman di mana mereka dapat ditemukan secara lebih rinci.

Memfaktorkan ekspresi aljabar

Suatu polinomial dapat ditulis dalam bentuk faktornya jika dapat dinyatakan dalam salah satu dari empat bentuk di bawah ini. Hasil yang disajikan adalah bentuk faktornya atau contoh cara memfaktorkannya:

1 – Faktor umum

Jika semua suku polinomial memiliki bilangan yang tidak diketahui atau bilangan yang sama, maka dimungkinkan untuk membuktikannya. Misalnya, dalam polinomial 4x² + 2x kita dapat menempatkan 2x dalam bukti. Hasilnya akan menjadi:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Perhatikan bahwa saat melakukan perkalian yang ditunjukkan pada anggota kedua (sisi kanan persamaan), hasilnya adalah tepatnya anggota pertama (sisi kiri persamaan), karena sifat distributif dari perkalian.

2 – Pengelompokan

Mengingat kasus sebelumnya, polinomial yang memiliki empat istilah dapat difaktorkan dengan mengelompokkan, bergabung istilah umum dua per dua, dan kemudian difaktorkan lagi jika hasilnya meninggalkan ini kemungkinan. 2x + bx + 2y + dengan polinomial, misalnya, dapat difaktorkan sebagai berikut:

2x + bx + 2y + oleh

x (2 + b) + y (2 + b)

Perhatikan bahwa (2 + b) berulang dalam kedua istilah baru. Jadi, kita bisa memasukkannya ke dalam bukti:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b)(x + y)

3 – Trinomial kuadrat sempurna

Setiap kali polinomial adalah trinomial kuadrat sempurna, itu ditulis setara dengan salah satu dari tiga ekspresi berikut diatur di sebelah kiri dan merah.

x² + 2x + a² = (x + a)(x + a)

x² – 2x + a² = (x - a)(x - a)

x² - Sebuah² = (x + a)(x - a)

Ruas kanan adalah bentuk terfaktor dari polinomial, yang dapat digunakan untuk penyederhanaan pecahan aljabar.

4 – Jumlah atau selisih dua kubus

Setiap kali polinomial berada dalam bentuk berikutnya atau dapat ditulis, itu akan menjadi jumlah dari dua kubus.

x³ + 3x²di + 3x² +³ = (x + a)³

x³ – 3x²di + 3x² - Sebuah³ = (x - a)³

Sekali lagi, ruas kiri, dengan warna merah, adalah polinomial yang dapat difaktorkan dan ditulis ulang seperti ekspresi di ruas kanan.

Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm