A garis singgung (disingkat tg atau tan) adalah a fungsi trigonometri. Untuk menentukan garis singgung suatu sudut, kita dapat menggunakan strategi yang berbeda: hitung rasio antara sinus dan cosinus sudut, jika diketahui; gunakan tabel garis singgung atau kalkulator; menghitung rasio antara kaki yang berlawanan dan yang berdekatan, jika sudut yang dimaksud adalah internal (akut) dari segitiga siku-siku, antara lain.
Baca juga: Untuk apa lingkaran trigonometri digunakan?
ringkasan tentang tangen
Tangen adalah fungsi trigonometri.
Garis singgung sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.
Tangen suatu sudut adalah perbandingan sinus dan kosinus sudut tersebut.
Fungsi \(f (x)=tg\ x\) didefinisikan untuk sudut X dinyatakan dalam radian, sehingga cos \(cos\ x≠0\).
Grafik fungsi tangen menunjukkan asimtot vertikal untuk nilai-nilai, di mana \(x= \frac{π}2+kπ\), dengan k utuh, seperti \(x=-\frac{π}2\).
Hukum garis singgung adalah ekspresi yang menghubungkan, dalam segitiga apa pun, garis singgung dari dua sudut dan sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut.
Tangen suatu sudut
Jika α adalah satu sudut internal dari a segitiga siku-siku, garis singgung α adalah rasio antara panjang kaki yang berlawanan dan panjang kaki yang berdekatan:
Untuk sembarang sudut α, tangennya adalah rasio antara sin α dan kosinus α, di mana \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Perlu diperhatikan bahwa jika α adalah sudut di kuadran 1 atau 3, garis singgungnya akan bertanda positif; tetapi jika α adalah sudut kuadran ke-2 atau ke-4, garis singgungnya akan bertanda negatif. Hubungan ini dihasilkan langsung dari aturan tanda antara tanda sinus dan cosinus untuk setiap α.
Penting: Perhatikan bahwa garis singgung tidak ada untuk nilai α dimana \(cos\ α=0\). Ini terjadi untuk sudut 90°, 270°, 450°, 630° dan seterusnya. Untuk mewakili sudut ini secara umum, kami menggunakan notasi radian: \(\frac{ π}2+kπ\), dengan k utuh.
Tangen dari sudut penting
Menggunakan ekspresi \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kita dapat menemukan garis singgung dari sudut yang luar biasa, yang merupakan sudut 30°, 45° dan 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Menarik: Selain itu, kita dapat menganalisis nilai tangen untuk sudut 0° dan 90°, yang juga banyak digunakan. Karena sin 0° = 0, kami menyimpulkan bahwa tan 0° = 0. Untuk sudut 90°, karena cos90° = 0, garis singgungnya tidak ada.
Bagaimana cara menghitung tangen?
Untuk menghitung garis singgung, kami menggunakan rumus tg α=sin αcos α, yang digunakan untuk menghitung garis singgung sudut mana pun. Mari kita lihat beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1
Tentukan garis singgung sudut α pada segitiga siku-siku di bawah ini.
Resolusi:
Mengenai sudut α, sisi ukuran 6 adalah sisi yang berlawanan dan sisi ukuran 8 adalah sisi yang berdekatan. Seperti ini:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Contoh 2
Mengetahui bahwa \(sin\ 35°≈0,573\) dan cos\(35°≈0,819\), temukan nilai perkiraan untuk garis singgung 35°.
Resolusi:
Karena tangen suatu sudut adalah perbandingan antara sinus dan kosinus sudut tersebut, kita memperoleh:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
fungsi tangen
Fungsi fx=tg x didefinisikan untuk sudut X dinyatakan dalam radian, sehingga \(cos\ x≠0\). Ini berarti bahwa domain dari fungsi tangen dinyatakan dengan:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Selanjutnya, semua bilangan asli adalah gambar fungsi tangen.
→ Grafik fungsi tangen
Perhatikan bahwa grafik fungsi tangen memiliki asimtot vertikal untuk nilai di mana \(x= \frac{π}2+kπ\), dengan k utuh, seperti \( x=-\frac{π}2\). Untuk nilai-nilai ini X, garis singgung tidak ditentukan (artinya, garis singgung tidak ada).
Lihat juga: Apa itu domain, jangkauan, dan gambar?
hukum garis singgung
Hukum garis singgung adalah a ungkapan yang mengasosiasikan, dalam a segi tiga apapun, garis singgung dari dua sudut dan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut. Sebagai contoh, perhatikan sudut α dan β dari segitiga ABC di bawah ini. Perhatikan bahwa sisi CB = a berlawanan dengan sudut α dan sisi AC = b berlawanan dengan sudut β.
Hukum garis singgung menyatakan bahwa:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
rasio trigonometri
Ke rasio trigonometri adalah fungsi trigonometri yang bekerja pada segitiga siku-siku. Kami menafsirkan rasio ini sebagai hubungan antara sisi dan sudut segitiga jenis ini.
Soal latihan pada garis singgung
pertanyaan 1
Biarkan θ menjadi sudut kuadran kedua sehingga sin\(sin\ θ≈0.978\), jadi tgθ kira-kira:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Resolusi
Alternatif A
jika \(sin\ θ≈0.978\), kemudian, menggunakan identitas dasar trigonometri:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Karena θ adalah sudut kuadran kedua, maka cosθ negatif, oleh karena itu:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Segera:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
pertanyaan 2
Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan panjang kaki AB = 3 cm dan AC = 4 cm. Garis singgung sudut B adalah:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
DAN) \(\frac{5}3\)
Resolusi:
Alternatif C
Dengan pernyataan itu, kaki berlawanan dengan sudut \(\hat{B}\) adalah AC berukuran 4 cm dan kaki yang berdekatan dengan sudut \(\hat{B}\) adalah AB dengan ukuran 3 cm. Seperti ini:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Oleh Maria Luiza Alves Rizzo
Guru matematika