Matriks: Latihan yang Dikomentari dan Dipecahkan

Matriks adalah tabel yang dibentuk oleh bilangan real, disusun dalam baris dan kolom. Angka-angka yang muncul dalam matriks disebut elemen.

Manfaatkan pertanyaan ujian masuk yang diselesaikan dan dikomentari untuk menghapus semua keraguan Anda tentang konten ini.

Masalah Ujian Masuk Terselesaikan

1) Unicamp - 2018

Misalkan a dan b bilangan real sedemikian rupa sehingga matriks A = memenuhi persamaan A²= aA + bI, dimana I adalah matriks identitas orde 2. Jadi hasil kali ab sama dengan

a) 2.
b) 1.
c) 1.
d) 2.

Lihat jawaban

Untuk mengetahui nilai produk a.b, pertama-tama kita perlu mengetahui nilai a dan b. Jadi mari kita pertimbangkan persamaan yang diberikan dalam masalah.

Untuk menyelesaikan persamaan, mari kita hitung nilai A², yang dilakukan dengan mengalikan matriks A dengan dirinya sendiri, yaitu:

Operasi ini dilakukan dengan mengalikan baris matriks pertama dengan kolom matriks kedua, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Dengan cara ini matriks A² itu sama dengan:

Mengingat nilai yang baru saja kita temukan dan mengingat bahwa dalam matriks identitas, elemen-elemen diagonal utama sama dengan 1 dan elemen lainnya sama dengan 0, persamaannya adalah:

Sekarang kita harus mengalikan matriks A dengan bilangan a dan matriks identitas dengan bilangan b.

Ingat bahwa untuk mengalikan angka dengan array, kita mengalikan angka dengan setiap elemen array.

Dengan demikian, persamaan kita akan sama dengan:

Menambahkan dua matriks, kami memiliki:

Dua matriks adalah sama jika semua elemen yang bersesuaian sama. Dengan cara ini, kita dapat menulis sistem berikut:

Mengisolasi a dalam persamaan kedua:

Mengganti nilai yang ditemukan untuk a dalam persamaan pertama, kami menemukan nilai b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Dengan demikian, produk akan diberikan oleh:

Itu. b = - 1. 2
Itu. b = - 2

Alternatif: a) 2.

2) Unesp - 2016

Sebuah titik P, dengan koordinat (x, y) dari bidang Cartesian ortogonal, diwakili oleh matriks kolom. , serta matriks kolom mewakili, dalam bidang Cartesian ortogonal, titik P koordinat (x, y). Jadi, hasil perkalian matriks adalah matriks kolom yang, dalam bidang Cartesian ortogonal, tentu mewakili titik yang

a) rotasi P 180º searah jarum jam, dan dengan pusat di (0, 0).
b) rotasi P melalui 90° berlawanan arah jarum jam, dengan pusat di (0, 0).
c) simetris P terhadap sumbu x horizontal.
d) simetris P terhadap sumbu y vertikal.
e) rotasi P melalui 90º searah jarum jam, dan dengan pusat di (0, 0).

Lihat jawaban

Titik P diwakili oleh matriks, sehingga absis (x) ditunjukkan oleh elemen a.₁₁ dan ordinat (y) oleh elemen a₂₁ dari matriks.

Untuk menemukan posisi baru titik P, kita harus menyelesaikan perkalian dari matriks yang disajikan dan hasilnya adalah:

Hasilnya merepresentasikan koordinat baru titik P, yaitu absisnya sama dengan -y dan ordinatnya sama dengan x.

Untuk mengidentifikasi transformasi yang dialami oleh posisi titik P, mari kita nyatakan situasi di bidang Cartesian, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Oleh karena itu, titik P yang semula berada di kuadran 1 (absis dan ordinat positif), pindah ke kuadran 2 (absis negatif dan ordinat positif).

Saat berpindah ke posisi baru ini, titik diputar berlawanan arah jarum jam, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas oleh panah merah.

Kita masih perlu mengidentifikasi berapa nilai sudut rotasinya.

Dengan menghubungkan posisi awal titik P ke pusat sumbu Cartesian dan melakukan hal yang sama dalam kaitannya dengan posisi barunya P', kita mendapatkan situasi berikut:

Perhatikan bahwa dua segitiga yang ditunjukkan pada gambar adalah kongruen, yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Dengan cara ini, sudut mereka juga sama.

Selain itu, sudut dan saling melengkapi, karena jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180º dan karena segitiga siku-siku, jumlah kedua sudut ini akan sama dengan 90º.

Jadi, sudut rotasi titik, yang ditunjukkan pada gambar oleh, hanya bisa sama dengan 90º.

Alternatif: b) rotasi P 90° berlawanan arah jarum jam, dengan pusat di (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Karena a adalah bilangan real, pertimbangkan matriks A = . Sehingga²⁰¹⁷ itu sama dengan
Itu)
B)
)
d)

Lihat jawaban

Pertama, mari kita coba mencari pola untuk pangkat, karena mengalikan matriks A dengan dirinya sendiri pada 2017 kali membutuhkan banyak usaha.

Mengingat bahwa dalam perkalian matriks, setiap elemen ditemukan dengan menjumlahkan hasil perkalian elemen-elemen pada baris yang satu dengan elemen-elemen pada kolom yang lain.

Mari kita mulai dengan menghitung A²:

Hasilnya adalah matriks identitas, dan ketika kita mengalikan matriks apa pun dengan matriks identitas, hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Oleh karena itu, nilai A³ akan sama dengan matriks A itu sendiri, karena A³ = A². ITU.

Hasil ini akan diulangi, yaitu jika pangkatnya genap maka hasilnya adalah matriks identitas dan jika ganjil akan menjadi matriks A itu sendiri.

Karena 2017 ganjil, maka hasilnya akan sama dengan matriks A.

Alternatif: b)

4) UFSM - 2011

Diagram yang diberikan mewakili rantai makanan yang disederhanakan dari ekosistem tertentu. Panah menunjukkan spesies yang menjadi makanan spesies lain. Menghubungkan nilai 1 ketika satu spesies memakan spesies lain dan nol, ketika kebalikannya terjadi, kami memiliki tabel berikut:

Matriks A = (a_{aku j})_4x4, terkait dengan tabel, memiliki hukum pelatihan berikut:

Lihat jawaban

Karena nomor baris ditunjukkan oleh i dan nomor kolom ditunjukkan oleh j, dan melihat tabel, kita perhatikan bahwa ketika i sama dengan j, atau i lebih besar dari j, hasilnya adalah nol.

Posisi yang ditempati oleh 1 adalah posisi yang nomor kolomnya lebih besar dari nomor barisnya.

Alternatif: c)

5) Unesp - 2014

Perhatikan persamaan matriks A + BX = X + 2C, yang tidak diketahui adalah matriks X dan semua matriks adalah kuadrat berorde n. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk persamaan ini untuk memiliki solusi tunggal adalah bahwa:

a) B – I O, di mana I adalah matriks identitas orde n dan O adalah matriks nol orde n.
b) B dapat dibalik.
c) B O, di mana O adalah matriks nol orde n.
d) B – I dapat dibalik, dimana I adalah matriks identitas orde n.
e) A dan C dapat dibalik.

Lihat jawaban

Untuk menyelesaikan persamaan matriks, kita perlu mengisolasi X pada salah satu sisi tanda sama dengan. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita kurangi matriks A di kedua sisi.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Sekarang, mari kita kurangi X, juga di kedua sisi. Dalam hal ini, persamaannya menjadi:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Karena saya adalah matriks identitas, ketika kita mengalikan matriks dengan identitas, hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Jadi, untuk mengisolasi X kita sekarang harus mengalikan kedua sisi tanda sama dengan matriks invers dari (B-I), yaitu:

X. (B - I).(B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Mengingat bahwa ketika suatu matriks dapat dibalik, produk dari matriks dengan kebalikannya sama dengan matriks identitas.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Dengan demikian, persamaan akan memiliki solusi ketika B - I dapat dibalik.

Alternatif: d) B – I dapat dibalik, dimana I adalah matriks identitas orde n.

6) Musuh - 2012

Seorang siswa mencatat nilai dua bulanan dari beberapa mata pelajarannya dalam sebuah tabel. Dia mencatat bahwa entri numerik dalam tabel membentuk matriks 4x4, dan dia dapat menghitung rata-rata tahunan untuk disiplin ilmu ini menggunakan produk matriks. Semua tes memiliki bobot yang sama, dan tabel yang didapatnya ditunjukkan di bawah ini

Untuk mendapatkan rata-rata ini, ia mengalikan matriks yang diperoleh dari tabel dengan

Lihat jawaban

Rata-rata aritmatika dihitung dengan menambahkan semua nilai dan membaginya dengan jumlah nilai.

Jadi, siswa harus menjumlahkan nilai dari 4 bimester dan membagi hasilnya dengan 4 atau mengalikan setiap nilai dengan 1/4 dan menjumlahkan semua hasilnya.

Menggunakan matriks, kita dapat mencapai hasil yang sama dengan melakukan perkalian matriks.

Namun, kita harus ingat bahwa hanya mungkin untuk mengalikan dua matriks jika jumlah kolom di salah satu matriks sama dengan jumlah baris di matriks lainnya.

Karena matriks catatan memiliki 4 kolom, matriks yang akan kita kalikan harus memiliki 4 baris. Jadi, kita harus mengalikan dengan matriks kolom:

Alternatif: dan

7) Fuvest - 2012

Perhatikan matriks , tentang apa Itu adalah bilangan real. Mengetahui bahwa A mengakui invers A^-1 yang kolom pertamanya adalah , jumlah elemen diagonal utama A^-1 itu sama dengan

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Lihat jawaban

Mengalikan matriks dengan inversnya sama dengan matriks identitas, sehingga kita dapat merepresentasikan situasi dengan operasi berikut:

Memecahkan perkalian baris kedua dari matriks pertama dengan kolom pertama dari matriks kedua, kita memiliki persamaan berikut:

(ke 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
ke-2² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
ke-2² - 4 = 0
ke-2 (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Mengganti nilai a dalam matriks, kita memiliki:

Sekarang setelah kita mengetahui matriksnya, mari kita hitung determinannya:

Jadi, jumlah diagonal utama akan sama dengan 5.

Alternatif: a) 5

Untuk mempelajari lebih lanjut, lihat juga:

• Matriks
• Penentu
• Aturan Sarrus
• Teorema Laplace
• Matriks yang Ditransposisikan