Sine, Cosine és Tangent a nevek trigonometrikus arányok. A távolságszámítással járó legtöbb problémát a trigonometria. Ehhez pedig nagyon fontos megérteni annak alapjait, kezdve a derékszögű háromszög.
A trigonometrikus arányok szintén nagyon fontosak, mivel összefüggenek a mérések mindkét oldalán háromszög az egyik éles szöggel, társítva ezt a kapcsolatot a valós szám.
Többet látni: A trigonometrikus ciklus kvadránsainak azonosítása
Jobb háromszög jellemzői
A derékszögű háromszöget a szög 90 ° (egyenes szög). A többi szög kisebb, mint 90º, vagyis éles, és emellett tudjuk, hogy a legnagyobb oldalak mindig a legnagyobb szögekkel vannak szemben. A derékszögű háromszögben a legnagyobb oldalát nevezzük átfogó és a derékszög előtt van, a többi oldalt hívják pecások.
A fenti háromszögben megvan, hogy a c és b értékű oldalak a lábak, az a pedig a hipotenusz. Minden derékszögű háromszögben a kapcsolat tudta Pitagorasz tétel érvényes.
A2 = b2 + c2
A galléros pecásnak ezentúl külön neveket is kapnak. A lábak nomenklatúrái a referenciaszögtől függenek. Figyelembe véve a fenti képen látható kék szöget, megállapíthatjuk, hogy a b értékű oldal az ellentétes láb, és az az oldal, amely a szög mellett van, vagyis c értéket mutat, az a szomszédos láb.
Szinusz
Mielőtt meghatároznánk a szög szinuszának képletét, értsük meg a szinusz gondolatát. Képzeljen el egy rámpát, amelyen meghatározhatjuk a ok a magasság és a pálya között, igaz? Ezt az arányt nevezzük az α szög szinuszának.
Így,
sin α = magasság
útvonal
koszinusz
A szinusz gondolatához hasonlóan megvan a koszinusz-érzékünk is, azonban egy rámpán a koszinusz a talajtól való távolság és a rámpán lévő út aránya.
Így:
cos α = eltávolítás
útvonal
Tangens
A szinusz és a koszinusz elképzeléseihez hasonlóan az érintő a rámpa magassága és távolsága közötti arány.
Így:
tg α = magasság
eltávolítás
Az érintő adja meg a mászási arány.
Olvassa el: Trigonometria bármely háromszögben
Szinusz, koszinusz és tangens kapcsolata
Általánosságban elmondhatjuk, hogy a szinusz, a koszinusz és az érintő bármelyik derékszögű háromszögben meghatározható az előző ötletek felhasználásával. Lásd lentebb:
Először a szög α referenciaként:
sin α = ellenkező oldal = ç
hipotenusz a
cos α = szomszédos kateta = B
hipotenusz a
tg α = ellenkező oldal = ç
Szomszédos kat. B
Most a β szöget vesszük referenciaként:
sin β = ellenkező oldal = B
hipotenusz a
cos β = szomszédos kateta = ç
hipotenusz a
tg β = ellenkező oldal = B
szomszédos cathetus c
Trigonometrikus táblák
Három szögértéket kell ismernünk. Vannak:
A többi értéket a gyakorlatok állításai adják meg, vagy a következő táblázatban ellenőrizhetők, de ne aggódjon, nem szükséges ezeket memorizálni (kivéve az előző táblázatban szereplő értékeket).
Szög (°) |
szinusz |
koszinusz |
tangens |
Szög (°) |
szinusz |
koszinusz |
tangens |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Ismerje meg: Secant, cosecant és kotangens
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Határozza meg x és y értékét a következő háromszögben.
Megoldás:
Lásd a háromszögben, hogy a megadott szög 30 ° volt. Még mindig a háromszöget nézve megvan az az oldal, amely mér x ez a ellentétes láb 30 ° -os szögben, és az az oldal, amelyik mér y ez a szomszédos láb 30 ° -os szögben. Ezért olyan trigonometrikus arányt kell keresnünk, amely a keresettet összekapcsolja a kapott adatokkal (hipotenusz). Hamar:
sin 30 ° = ellenkező oldal
Átfogó
cos 30 ° = szomszédos kateta
Átfogó
Meghatározta x értékét:
sin 30 ° = ellenkező oldal
Átfogó
sin 30 ° = x
2
Az asztalra nézve:
sin 30 ° = 1
2
Helyettesítve az egyenletben:
1 = x
2 2
x = 1
Hasonlóképpen figyelembe vesszük
Így:
Cos 30 ° = √3
2
cos 30 ° = szomszédos kateta
Átfogó
cos 30 ° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
2. kérdés - (PUC-SP) Mi az x értéke a következő ábrán?
Megoldás:
A nagyobb háromszöget megtekintve vegye észre, hogy y szemben áll a 30 ° -os szöggel, és hogy 40 a hipotenusz, vagyis használhatjuk a trigonometrikus szinusz arányt.
sin 30 ° = Y
40
1 = Y
2 40
2 y = 40
y = 20
Most a kisebb háromszöget nézve látjuk, hogy megvan az ellentétes oldal értéke, és megkeressük az x értékét, amely a szomszédos oldal. A két lábat érintő trigonometrikus kapcsolat az érintő. Így:
tg 60 ° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm