Venn-diagram: mi ez, mire szolgál, példák

O Venn-diagram, más néven Venn-Euler diagram, a egy halmaz ábrázolásának módja, ehhez zárt vonalat használunk, amelynek nincs önmetszete, és a halmaz elemeit ezen a vonalon belül képviseljük. A diagram ötlete az, hogy megkönnyítse a megértést a alapkészlet műveletek, például: befogadás és tartozás viszony, egyesülés és metszéspont, különbség és kiegészítő halmaz.

Olvasd el te is: Műveletek egész számok között: ismerje a tulajdonságokat

Venn diagram ábrázolásai

Amint látható, a Venn-diagram egy zárt (nem összefonódó) vonalból áll, amelyre „ráhelyezzük” a kérdéses halmaz elemeit, így egy vagy több halmazt képviselnek egyidejűleg. Lásd a példákat:

• Egy szett

Képviselhetjük Önt a egyetlen zárt vonalábrázoljuk például az A = {1, 3, 5, 7, 9} halmazt:

• Két készlet között

Két olyan grafikont kell készítenünk, mint az egyetlen halmaz ábrázolásához. A halmazokkal végzett műveletekből azonban tudjuk, hogy: két halmazt adott esetben keresztezhetnek, vagy nem. Ha a két halmaz nem metszik egymást, megnevezik őket diszjunkt készletek.

instagram story viewer

1. példa

A Venn-diagram segítségével ábrázoljuk az A = {a, b, c, d, e, f} és B = {d, e f, g, h, i} halmazokat.

Vegye figyelembe, hogy a metszéspont a diagram azon része, amely a definícióhoz hasonlóan a két halmazhoz tartozik.

A ∩ B = {d, e, f}

2. példa

Ábrázolja a C = {a, b, c, d} és D = {e, f, g, h} halmazokat.

Ne feledje, hogy ezeknek a halmazoknak a kereszteződése üres, mivel nincs olyan eleme, amely egyszerre tartozik mindkettőhöz, vagyis:

C ∩ D = {}

• Három készlet között

A három halmaz Venn-diagramját használó ábrázolás ötlete hasonló a két halmaz közötti ábrázoláshoz. Ebben az értelemben a halmazok egyesével szétválaszthatók, vagyis nincs kereszteződésük; vagy lehet kettő-kettő diszjunkt, vagyis csak kettő keresztezi egymást; vagy mind keresztezi egymást.

Példa

Az A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} és C = {d, e, c, h} halmazok ábrázolása a Venn-diagram segítségével.

Lásd még: Fontos halmazjelölések

tagsági viszony

A tagsági viszony lehetővé teszi annak megmondását, hogy egy elem egy bizonyos halmazhoz tartozik-e vagy sem. Ehhez a következő szimbólumokat használjuk:

Tekintsük az A = {a, b, c, d} halmazt. Elemezve rájövünk arra gpéldául nem tartozik hozzá, így a Venn-diagramban:

Befogadás kapcsolata

Az inklúziós kapcsolat lehetővé teszi számunkra, hogy megmondjuk hogy egy halmaz szerepel-e egy másik halmazban. Ha egy halmaz egy másikban van, akkor azt mondjuk, hogy a részhalmaz. Ehhez a következő szimbólumokat használjuk:

Példa erre a halmaz közötti kapcsolat természetes számok és halmaza egész számok. Tudjuk, hogy a természetes számok halmaza az egészek halmazának részhalmaza, vagyis a naturálok halmazát az egész számok halmaza tartalmazza.

Műveletek a halmazok között

A két vagy több halmaz közötti alapvető műveletek a következők: egység, útkereszteződés és különbség két halmaz között.

• Unió

A két halmaz közötti egyesülés az egyes halmazokban található elemek összekapcsolásával jön létre, más szóval: a két halmaz összes elemét figyelembe vesszük. Néz:

Tekintsük az A = {1, 2, 3, 4} és B = {3, 4, 5, 6, 7} halmazokat. A köztük lévő egységet a következők adják:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A Venn-diagramon árnyékoltuk az unió részt, vagyis mindkét készletet, ellenőrizzük:

• Útkereszteződés

A metszéspont egy új numerikus halmaz, amelyet olyan elemek alkotnak, amelyek egyszerre tartoznak más halmazokhoz. Általánosságban elmondható, hogy a Venn-diagram halmazainak metszéspontját az érintett grafikonok közös része adja. Néz:

Ha ismét figyelembe vesszük az A = {1, 2, 3, 4} és a B = {3, 4, 5, 6, 7} halmazokat, akkor megállapíthatjuk, hogy az A halmazhoz és a B halmazhoz egyszerre tartozó elemek :

A ∩ B = {3,4}

• Különbség két készlet között

Tekintsünk két C és D halmazt, a köztük lévő különbség (C - D) egy új halmaz lesz, amelyet a C-hez tartozó és a D-hez nem tartozó elemek alkotnak. Általánosságban ezt a különbséget képviselhetjük a Venn-diagram segítségével, az alábbiak szerint:

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - (Ufal) A következő ábrán a nem diszjunkt A, B és C halmazok kerültek ábrázolásra. A színes régió a halmazt jelenti:

a) C - (A ∩ B)

b) (A ∩ B) - C

c) (A U B) - C

d) A U B U C

e) A ∩ B ∩ C

Megoldás

Alternatíva b.

A halmazokkal végzett műveletekre emlékezve tudjuk, hogy a Venn-diagram két halmazának kereszteződését a nekik közös rész adja. Figyelembe véve az A, B és C halmazokat és kiszínezve az A ∩ B metszéspontot, megvan:

Cím: 1. megoldási kérdés - 1. rész

Vegye figyelembe, hogy ha eltávolítjuk az elemeket a C halmazból, akkor megkapjuk a gyakorlat által kért színes részt, vagyis először ki kell emelnünk a kereszteződést, majd el kell távolítanunk az elemeket C-ből.

(A ∩ B) - C

2. kérdés - (Uerj) Egy iskola gyermekei oltási kampányban vettek részt infantilis bénulás és kanyaró ellen. A kampány után kiderült, hogy a gyermekek 80% -a kapott bénulási oltást, 90% -a kanyaró oltást kapott, 5% pedig egyiket sem.

Határozza meg, hogy ebben az iskolában hány százalékban részesültek mindkét oltásban.

Megoldás

Mivel a két oltást kapott gyermekek százaléka nem ismert, nevezzük először x-nek. Ne felejtsük el, hogy nem a% szimbólummal kell működnünk, hanem a gyakorlat százalékát tizedes vagy tört alakban írjuk fel.

80 % → 0,8

90% → 0,9

5% → 0,05

100% → 1

A csak bénulási oltást szedő gyermekek összes számának megállapításához levontuk az igazolt százalékot (80%) azok aránya, akik mindkettőt szedték (x), és ugyanezt kell tenni azoknál a gyermekeknél is, akik csak a kanyaró. Így: