A tanulmányozásának motivációja műveletek halmazok között a mindennapi numerikus problémák megoldásának könnyűségéből adódik. Néhány grafikus eszközt fogunk használni, például a Venn-diagram-Euler, a kettő vagy több közötti fő műveletek meghatározása készletek, nevezetesen: halmazok egyesítése, halmazok metszéspontja, halmazok különbsége és kiegészítő halmaz.
halmazok egyesítése
Két vagy több halmaz közötti egyesülés egy új halmaz lesz, amely olyan elemekből áll, amelyek a kérdéses halmazok legalább egyikéhez tartoznak. Formálisan az uniókészletet a következők adják:
Legyen A és B két halmaz, a köztük lévő uniót az A vagy a B halmazba tartozó elemek alkotják.
Más szavakkal, csak csatlakozzon az elemekhez az A és a Bé.
Példa:
a) Tekintsük az A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} és B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} halmazokat:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x természetes páros szám} és B {y | y természetes páratlan szám}
Minden természetes egyenlet és minden természetes esély egyesülése a természetes számok teljes halmazát eredményezi, ezért nekünk:
A halmazok metszéspontja
Két vagy több halmaz metszéspontja szintén egy új halmaz lesz elemek, amelyek egyszerre tartoznak az összes érintett halmazhoz. Formálisan van:
Legyen A és B két halmaz, a köztük lévő metszéspontot az A és a B halmazba tartozó elemek alkotják. Így csak azokat az elemeket kell figyelembe vennünk, amelyek mindkét halmazban találhatók.
Példa
a) Tekintsük az A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} és C = {0, –1, –2, –3 halmazokat! }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
A halmaz, amelynek nincs eleme, az úgynevezett üres készlet és kétféleképpen ábrázolható.
Olvassa el: Definíció beállítása
halmazok különbsége
A két halmaz, A és B közötti különbséget az A és a részhez tartozó elemek adják nem B-hez tartoznak.
A Venn-Euler diagramban az A és B halmazok közötti különbség:
Példa
Tekintsük az A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} és C = {} halmazokat. Határozzuk meg a következő különbségeket.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Ne feledje, hogy az A - B halmazban eleinte az A halmazt vesszük, és "kivesszük" az elemeket a B halmazból. Az A - C halmazban kivesszük az A-t és „kivesszük” az ürességet, vagyis nincsenek elemek. Végül a C - A-ban kivesszük az üres halmazt, és „kivesszük” az elemeket A-ból, amelyek viszont már nem voltak ott.
Olvassa el: Fontos jelölések a halmazokról
Kiegészítő készletek
Tekintsük az A és B halmazokat, ahol az A halmaz a B halmazban található, vagyis A minden eleme egyben B eleme is. A halmazok közötti különbséget, a B - A-t B-vel szemben A komplementernek nevezzük. Más szavakkal, a komplementert minden olyan elem alkotja, amely nem tartozik az A halmazhoz a B halmazhoz viszonyítva, amelyben benne van.
Példa
Tekintsük az A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} és B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} halmazokat.
A komplementere B-vel szemben:
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Tekintsük az A = {a, b, c, d, e, f} és B = {d, e, f, g, h, i} halmazokat. Határozzuk meg (A - B) U (B - A).
Megoldás
Kezdetben meghatározzuk az A - B és B - A halmazokat, majd elvégezzük a közöttük lévő uniót.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Ezért (A - B) U (B - A):
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
2. kérdés - (Vunesp) Tegyük fel, hogy A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} és A - B = {a, b, c}, majd:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Megoldás
Alternatíva b.
A Venn-Euler diagram elemeinek elrendezése a kijelentés szerint:
Ezért a B = {d, e, f, g, h} halmaz.
írta Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm