Lineáris rendszerek: mik ezek, hogyan lehet megoldani, típusok

Megoldani rendszereklineáris nagyon visszatérő feladat a természettudomány és a matematika területén végzett tanulmányok számára. Az ismeretlen értékek keresése olyan módszerek kifejlesztéséhez vezetett, amelyek megoldják a lineáris rendszereket, például az addíciós, egyenlőségi és helyettesítési módszereket olyan két egyenlet és két ismeretlenés Crammer-szabály és skálázás, amelyek két egyenlet lineáris rendszereit oldják meg, de amelyek kényelmesebbek a több egyenlettel rendelkező rendszerek számára. A lineáris rendszer két vagy több egyenlet halmaza, egy vagy több ismeretlennel.

Olvassa el:Mi a kapcsolat a mátrixok és a lineáris rendszerek között?

Lineáris rendszerek.

lineáris egyenlet

Az egyenletekkel végzett munka a ismeretlen ismeretlen értékeket kell megtalálni. Akkor nevezzük egyenletnek, ha algebrai kifejezésünk van egyenlőséggel, és lineárisnak minősül, ha ismeretlenjeinek legnagyobb kitevője 1, amint azt a következő példák mutatják:

2x + y = 7 → lineáris egyenlet két ismeretlennel

a + 4 = -3 → lineáris egyenlet egy ismeretlen

Általánosságban elmondható, hogy a lineáris egyenlet leírható:

A₁x₁ + a₂x₂ + a3x3... + a_nemx_nem = c

Egyenletrendszerként tudjuk, ha egynél több lineáris egyenlet van. Két ismeretlen lineáris rendszerével kezdjük.

Lineáris rendszerek megoldása

• Lineáris rendszerek két 1. fokú egyenlettel és két ismeretlen

Két egyenletből és két ismeretlenből álló rendszer megoldásához több is létezik mód, a három legismertebb:

• összehasonlítási módszer
• összeadási módszer
• helyettesítési módszer

A három közül bármelyik képes megoldani két egyenlet és két ismeretlen lineáris rendszerét. Ezek a módszerek nem olyan hatékonyak a több egyenletet tartalmazó rendszereknél, mivel ezek megoldására más speciális módszerek is léteznek.

• Helyettesítési módszer

A helyettesítési módszer a következőkből áll: izolálja az egyik ismeretlent az egyik egyenletben és hajtsa végre a helyettesítést a másik egyenletben.

Példa:

1. lépés: izolálja az egyik ismeretlent.

Az első egyenletnek I, a II-nek a második egyenletet nevezzük. A kettőt elemezve nézzük válassza az ismeretlent, amelyet a legkönnyebb elkülöníteni. Vegye figyelembe, hogy a egyenlet I → x + 2y = 5, x-nek nincs együtthatója, ami megkönnyíti az elkülönítést, ezért átírjuk a következőt:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2y

2. lépés: az I. helyébe a II.

Most, hogy megvan az I egyenlet egyedül az x-szel, a II egyenletben helyettesíthetjük az x-et 5 - 2y-vel.

II → 3x - 5y = 4

Az x cseréje 5 - 2y-re:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

Most, hogy az egyenletnek csak egy ismeretlenje van, megoldható az y értékének megtalálásához.

Az y értékének ismeretében meg fogjuk találni az x értékét az y egyenletének az I. egyenletben való helyettesítésével.

I → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Tehát a rendszer megoldása S = {3,1}.

• Összehasonlítási módszer

Az összehasonlítási módszer a következőkből áll: izoláljon egy ismeretlent a két egyenletből, és kiegyenlítse ezeket az értékeket.

Példa:

1. lépés: legyek én az első egyenlet, a II pedig a második, különítsük el az ismeretlenek egyikét az I. és II. Az ismeretlen x elkülönítése mellett tennünk kell:

2. lépés: egyenlítse a két új egyenletet, mivel x = x.

3. lépés: cserélje le y értékét -2-re az egyik egyenletben.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Tehát ennek a rendszernek a megoldása az S = {2, -2} halmaz.

Lásd még: Mi a különbség a függvény és az egyenlet között?

• összeadási módszer

Az összeadás módja az, hogy az egyik egyenlet összes tagját megszorozzuk oly módon, hogy amikor hozzáadva az (I) egyenletet a (II) egyenlethez, egyik ismeretlen értéke nulla.

Példa:

1. lépés: szorozzuk meg az egyik egyenletet úgy, hogy az együtthatók ellentétesek legyenek.

Megjegyezzük, hogy ha a II egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor a II egyenletben 4y és az I egyenletben -4y van, és hogy összeadjuk az I + II-t, megvan 0y, tehát szorozzuk meg a II egyenlet összes tagját 2-vel, így ez történik.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. lépés: teljesítse az összeget I + 2 · II.

3. lépés: cserélje le az x = 3 értékét az egyik egyenletre.

• Lineáris rendszerek három 1. fokú egyenlettel és három ismeretlen

Ha a rendszernek három ismeretlen része van, akkor más megoldási módszereket is alkalmazunk. Mindezek a módszerek együtthatókat kapcsolnak a mátrixokhoz, és a leggyakrabban alkalmazott módszerek a Crammer-szabály vagy a méretezés. A felbontáshoz mindkét módszerben szükség van a rendszer mátrixábrázolására, akár a 2x2-es rendszer is ábrázolható mátrix segítségével. Kétféle reprezentáció lehetséges, a teljes és a hiányos mátrix:

Példa:

A rendszer 

Képviselheti teljes mátrix

És azért hiányos mátrix

• Crammer szabálya

Megoldások keresése egy xx, y és z ismeretlen 3x3 rendszer esetén a Crammer uralma, ki kell számítani a hiányos mátrix determinánsát és annak variációit. Tehát nekünk:

D → a rendszer hiányos mátrixának meghatározója.

D_x → a rendszer hiányos mátrixának meghatározója, helyettesítve az x oszlopot a független kifejezések oszlopával.

D_y → a rendszer hiányos mátrixának meghatározója, y oszlopának helyettesítése független tagok oszlopával.

D_z → a rendszer hiányos mátrixának meghatározója, helyettesítve az z oszlopot a független tagok oszlopával.

Tehát, hogy megtaláljuk ismeretlenek értékét, először ki kell számolnunk a döntő D, D_x, D_y a rendszerhez társítva.

Példa:

1. lépés: számítsa ki a D-t.

2. lépés: számítsa ki a D-t_x.

3. lépés: akkor megtalálhatjuk az x értékét, mert:

4. lépés: számítsa ki a D-t_y.

5. lépés: akkor kiszámíthatjuk y értékét:

6. lépés: Most, hogy tudjuk az x és y értékét, bármelyik sorban megtalálhatjuk z értékét az x és y értékének helyettesítésével és z elkülönítésével. Egy másik lehetőség a D kiszámítása_z.

X = 0 és y = 2 behelyettesítése az első egyenletbe:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Ezért a rendszer megoldás a pályázat (0,2, -1).

Hozzáférhet továbbá: Problémamegoldás egyenletrendszerekkel

• méretezés

A lineáris rendszerek megoldásának másik módszere a méretezés, amelyben csak a teljes mátrixot és a vonalak közötti műveleteket használjuk ismeretlenik elkülönítésére. Méretezzük az alábbi rendszert.

1. lépés: írja meg a rendszert reprezentáló teljes mátrixot.

legyen L₁, L₂ és én₃ illetve a mátrix 1., 2. és 3. vonala, akkor L műveleteket hajtunk végre₁ és én₂ és én₁ és én₃, így az eredmény a második és a harmadik sor első oszlopában szereplő kifejezéseket nullává teszi.

A mátrix második vonalát elemezve cseréljük le az L2 → -2 · L1 + L2 eredményre az a21 kifejezés nullázása érdekében.

A₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

A₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

A₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

A₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Tehát az L₂ 0 -3 7 -17 lesz.

A mátrix harmadik sorát elemezve cseréljük le L3 → 3L1 + L eredményre_2, annak érdekében, hogy visszaállítsuk a kifejezést_31.

A₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

A₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

A₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

A₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Tehát az L₃ 0 8 -8 24 lesz.

Vegye figyelembe, hogy mindegyik osztható 8-mal, így az L egyenes₃ tegyük egyszerűbbé, osszuk el 8-mal.

L₃ → L₃ : 8 lesz: 0 1-1 3.

Tehát a skálázott egyenlet új mátrixa a következő lesz:

Most a cél az y oszlop alaphelyzetbe állítása a harmadik sorban, műveleteket hajtunk végre L között₂ és én₃, azzal a céllal, hogy visszaállítsa egyikük második oszlopát.

Az L3-at L3 → L-re cseréljük₂ + 3L₃.

A₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

A₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

A₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

A₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Tehát L₃ lesz: 0 0 4 -8.

Az új méretezett mátrix a következő lesz:

Most, amikor ezt a mátrixot ismét rendszerként képviseljük, x, y és z hozzáadásával az oszlopokhoz, a következőket találjuk:

Ezután megtalálhatjuk az ismeretlenek értékét. A III. Egyenlet elemzésével:

Ha z = -2, akkor helyettesítsük z értékét a második egyenlettel:

Végül az első egyenletben helyettesítsük y és z értékét az x értékének megtalálásához.

Lásd még: I. fokú egyenlőtlenségek rendszere - hogyan lehet megoldani?

lineáris rendszerosztályozás

A lineáris rendszer egy lineáris egyenlethalmaz, amelynek több ismeretlen és több egyenlete lehet. Számos módszer létezik a megoldására, függetlenül az egyenletek számától. itt három van értékelések lineáris rendszerhez.

• Meghatározott lehetséges rendszer (SPD): amikor egyetlen megoldásod van.
• Meghatározatlan lehetséges rendszer (SPI): amikor végtelen megoldásai vannak.
• lehetetlen rendszer(SI): amikor nincs megoldás.

megoldott gyakorlatok

1. kérdés (IFG 2019) Tekintsük az alapok és a háromszög alapjához viszonyított magasságának 168 cm-nek és a különbségnek 24 cm-nek az összegét. Helyes kijelenteni, hogy az alap és a magasság ehhez az alapmérethez viszonyított mérései:

a) 72 cm és 96 cm

b) 144 cm és 24 cm

c) 96 cm és 72 cm

d) 24 cm és 144 cm

Felbontás

C. alternatíva

Legyen h → magasság és b → alap, akkor a következő rendszerünk van:

Az összeadás módszerével:

A h értékének megtalálásához helyettesítsük b = 96 cm-t az első egyenletbe:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

2. kérdés A hiányos mátrix, amely a következő lineáris rendszert képviseli:

Felbontás

C. alternatíva

A hiányos mátrix olyan, amelynek x, y és z együtthatói vannak, tehát 3x3 mátrix lesz. Az alternatívákat elemezve az a C betű, amely a 3x3-as mátrixot tartalmazza a helyes előjelekkel.

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm