A gömb alakú sapka és a geometriai szilárd akkor kapjuk meg, ha egy gömböt egy sík elfog, és két geometriai testre osztja. A gömbsapka kerek testnek számít, mert a gömbhöz hasonlóan lekerekített alakja van. A gömb alakú sapka területének és térfogatának kiszámításához speciális képleteket használunk.
Olvasd el te is: Kúptörzs – a kúp alja által kialakított geometriai szilárd test, amikor az alappal párhuzamos szakaszt készítünk
Összefoglaló a gömbsapkáról
- A gömbsapka egy geometriai szilárd anyag, amelyet akkor kapunk, ha a gömböt egy sík osztja.
- A gömbsapka fő elemei a gömb sugara, a gömbsapka sugara és a gömbsapka magassága.
- A gömb alakú kupak nem poliéder, hanem kerek test.
- Ha a sík kettéosztja a gömböt, akkor a gömbsapka félgömböt alkot.
- A gömbsapka sugarát a Pitagorasz-tétel segítségével lehet kiszámítani, a következőképpen szervezve:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
- A gömbsapka területe a következő képlettel számítható ki:
\(A=2\pi rh\ \)
- A gömbsapka térfogata a következő képlettel számítható ki:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Mi az a gömbsapka?
gömb alakú sapka az a geometriai test, amelyet akkor kapunk, ha a labda gyakori lakás. Amikor a gömböt síkkal vágjuk, ezt a gömböt két gömbsapkára osztjuk. Amikor a gömböt kettéosztjuk, a gömb alakú sapkát félgömbnek nevezzük.
Gömb alakú sapkaelemek
A gömbsapkában a fő elemek a gömb sugara, a gömbsapka sugara és a gömbsapka magassága.
- R → a gömb sugara.
- r → a gömbsapka sugara.
- h → a gömbsapka magassága.
A gömb alakú kupak poliéder vagy kerek test?
Láthatjuk, hogy a kupak geometriai szilárdtest. Mivel kör alakú alappal és lekerekített felülettel rendelkezik, a gömb alakú sapkát a kerek test, amelyet a forradalom szilárdjaként is ismernek. Érdemes megemlíteni, hogy a poliéder által alkotott arcokat sokszögek, ami nem a gömbsapka esetében, amelynek alapja a kör.
Hogyan kell kiszámítani a gömbsapka sugarát?
A gömbsapka sugárhosszának kiszámításához tudni kell a gömbsapka h magasságának hosszát és a gömb R sugarának hosszát, mert ahogy az alábbi képen is láthatjuk, pitagorasz kapcsolat van.
Vegye figyelembe, hogy van a derékszögű háromszög, az OO’B háromszög, R méretű hipotenúzával és R – h és r méretű lábakkal. Alkalmazása a Pitagorasz tétel, Nekünk kell:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
Példa:
Mekkora a gömb alakú sapka sugara, amelynek magassága 2 cm, ha a gömb sugara 5 cm?
Felbontás:
A Pitagorasz-reláció alkalmazása:
\(\bal (R-h\jobb)^2+r^2=R^2\)
\(\bal (5-2\jobb)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Hogyan kell kiszámítani a gömb alakú sapka területét?
A gömb alakú sapka területének kiszámításához ismerni kell a gömb R sugarának hosszát és a sapka h magasságát. A felület kiszámításához használt képlet a következő:
\(A=2\pi Rh\)
- R → a gömb sugara.
- h → a gömbsapka magassága.
Példa:
Egy 6 cm sugarú és 4 cm magas gömbből gömb alakú sapkát kaptunk. Tehát mekkora ennek a gömb alakú sapkának a felülete?
Felbontás:
A gömbsapka területének kiszámításával a következőket kapjuk:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Hogyan kell kiszámítani a gömb alakú kupak térfogatát?
A gömbsapka térfogata kétféleképpen számolható. Az első képlet a gömb R sugarától és a h magasságától függ:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Példa:
Mekkora térfogatú egy gömb alakú sapka, amelyet egy 8 cm sugarú gömbből kapunk, amelynek a gömbsapka magassága 6 cm?
Felbontás:
Mivel ismerjük R és h értékét, az első képletet fogjuk használni.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\bal (18\jobb)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
A másik gömbsapka térfogati képlete figyelembe veszi a gömbsapka r sugarát és a kupak h magasságát:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\jobb)\)
Példa:
Mekkora a gömb alakú sapka térfogata, amelynek sugara 10 cm, magassága 4 cm?
Felbontás:
Ebben az esetben r = 10 cm és h = 4 cm. Mivel ismerjük a gömbsapka sugarának és a magasságának értékét, a második képletet fogjuk használni:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\jobb)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\jobbra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\bal (300+16\jobb)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\kb. 210,7\ \pi\ cm³\)
Lásd még: Piramistörzs – a keresztmetszet felvételekor a piramis alja által alkotott geometriai szilárdtest
Megoldott gyakorlatok gömbsapkán
1. kérdés
(Enem) A gyerekek ünnepi asztalának díszítésére a szakács egy 10 cm átmérőjű, gömb alakú dinnyét használ, amely támaszként szolgál különféle édességek felnyársalásához. Az ábrán látható módon eltávolítja a dinnyéről egy gömb alakú kupakot, és a támasz stabilitásának garantálása érdekében megnehezítve a dinnye gördülését az asztalon, a szakács úgy vágja, hogy a kör alakú vágási rész r sugara legalább legyen mínusz 3 cm. Másrészt a főnök azt akarja majd, hogy a lehető legtöbb terület legyen abban a régióban, ahol az édességeket kifüggesztik.
Minden céljának elérése érdekében a séfnek le kell vágnia a dinnye tetejét h magasságban, centiméterben, ami egyenlő
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Felbontás:
Alternatív C
Tudjuk, hogy a gömb átmérője 10 cm, tehát a sugara 5 cm, tehát OB = 5 cm.
Ha a szelvény sugara pontosan 3 cm, akkor:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25-9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Ebből adódóan:
h + 4 = 5
h = 5-4
h = 1
2. kérdés
Egy gömb alakú sapka területe 144π cm². Tudva, hogy sugara 9 cm, ennek a gömb alakú sapkának a magassága:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Felbontás:
Alternatíva A
Tudjuk:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=ó\)
Magassága 8 cm.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm