szimmetrikus mátrix van központ amelyben az egyes elemek \(a_{ij}\) egyenlő az elemmel \(a_{ji}\) i és j összes értékére. Következésképpen minden szimmetrikus mátrix egyenlő a transzponáltjával. Azt is érdemes megemlíteni, hogy minden szimmetrikus mátrix négyzet alakú, és a főátló szimmetriatengelyként működik.
Olvasd el te is:Mátrix összeadás és kivonás – hogyan kell számolni?
Absztrakt a szimmetrikus mátrixról
Egy szimmetrikus mátrixban, \(a_{ij}=a_{ji}\) minden i-re és j-re.
Minden szimmetrikus mátrix négyzet alakú.
Minden szimmetrikus mátrix egyenlő a transzponálásával.
A szimmetrikus mátrix elemei szimmetrikusak a főátlóra.
Míg a szimmetrikus mátrixban \(a_{ij}=a_{ji}\) minden i-re és j-re; antiszimmetrikus mátrixban, \(a_{ij}=-a_{ji}\) minden i-re és j-re.
Mi az a szimmetrikus mátrix?
A szimmetrikus mátrix az egy négyzetmátrix ahol \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) minden i-re és minden j-re. Ez azt jelenti \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)és így tovább, i és j összes lehetséges értékére. Ne feledje, hogy i lehetséges értékei a mátrix sorainak, j lehetséges értékei pedig a mátrix oszlopainak felelnek meg.
Példák szimmetrikus mátrixokra
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmátrix}\)
Példák nem szimmetrikus mátrixokra (lásd \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmátrix}\)
Fontos: Ha azt mondjuk, hogy egy mátrix nem szimmetrikus, azt meg kell mutatni \(a_{ij}≠a_{ji}\) legalább néhány i és j esetében (amit az előző példák összehasonlításával láthatunk). Ez eltér az antiszimmetrikus mátrix koncepciótól, amelyet később látni fogunk.
Milyen tulajdonságai vannak a szimmetrikus mátrixnak?
Minden szimmetrikus mátrix négyzet alakú
Vegye figyelembe, hogy a szimmetrikus mátrix meghatározása négyzetes mátrixokon alapul. Így minden szimmetrikus mátrixnak ugyanannyi sora van, mint az oszlopok száma.
Minden szimmetrikus mátrix egyenlő a transzponálásával
Ha A mátrix, akkor annak átültetve (\(A^T\)) az a mátrix, amelynek sorai A oszlopai, oszlopai pedig A sorai. Tehát, ha A szimmetrikus mátrix, akkor van \(A=A^T\).
A szimmetrikus mátrixban az elemek „visszaverődnek” a főátlóhoz képest
Mint \(a_{ij}=a_{ji}\) szimmetrikus mátrixban a főátló feletti elemek az alatta lévő elemek „visszaverődései”. az átlónak (vagy fordítva) az átlóhoz képest, így a főátló az átló tengelyeként működik. szimmetria.
Mi a különbség a szimmetrikus mátrix és az antiszimmetrikus mátrix között?
Ha A szimmetrikus mátrix, akkor \(a_{ij}=a_{ji}\) minden i-re és minden j-re, ahogyan azt tanulmányoztuk. Az antiszimmetrikus mátrix esetében más a helyzet. Ha B egy antiszimmetrikus mátrix, akkor \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) minden i-re és minden j-re.
Vegye figyelembe, hogy ez azt eredményezi \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), vagyis a fő átlós elemek nullák. Ennek az a következménye, hogy egy antiszimmetrikus mátrix transzpozíciója megegyezik az ellentétével, vagyis ha B egy antiszimmetrikus mátrix, akkor \(B^T=-B\).
Példák antiszimmetrikus mátrixokra
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Lásd még: Identitásmátrix – az a mátrix, amelyben a fő átlós elemek egyenlőek 1-gyel, a többi elem pedig 0
Szimmetrikus mátrixon megoldott gyakorlatok
1. kérdés
(Unicentro)
ha a mátrix \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) szimmetrikus, tehát xy értéke:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Felbontás:
Alternatíva A
Ha az adott mátrix szimmetrikus, akkor a szimmetrikus pozícióban lévő elemek egyenlőek (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Ezért a következőket kell tennünk:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Az első cseréje egyenlet a másodikban arra a következtetésre jutunk \(y=3\), hamar:
\(x=2\) Ez \(xy=6\)
2. kérdés
(UFSM) Tudva, hogy a mátrix \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) egyenlő annak transzponálásával, értékével \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Felbontás:
Alternatív C
Mivel az adott mátrix megegyezik a transzponáltjával, ezért szimmetrikus mátrix. Így a szimmetrikus helyzetben lévő elemek egyenlőek (\(a_{ij}=a_{ji}\)), azaz:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Az első egyenlet szerint x=-6 vagy x=6. A harmadik egyenlet alapján megkapjuk a helyes választ: x= -6. A második egyenlet szerint y=11.
Hamar:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
