O minimális közös többszörös (MMC) két egész szám között x és y a legkisebb egész szám, amely egyszerre x és y többszöröse. Ily módon legalább egy módja van a MMC két x és y szám között: keresse meg az x és y többszöröseinek halmazában a legkisebb közös elemet. Természetesen van egy praktikus módszer ennek a számnak a megtalálásához, amelyet az alábbiakban tárgyalunk. Az egész szám többszörösének fogalmát azonban jól meg kell értenünk.
Mik a többszörösek?
A k egész számot a-nak nevezzük többszörös az x értéke, ha van valamilyen természetes n szám, amely n · x = k. Vegyük a 110-es szám példáját. Ő van többszörös 10 értéke, mivel a 110 a 10 szorzatának a természetes 11-es számmal való szorzata.
Ily módon meg lehet állapítani, hogy a k egész szám-e többszörös x-et próbával és hibával, vagy a szorzás (osztás) inverz műveletével. A k szám x szorzója, ha van olyan természetes n szám, amely:
n = k
x
Más szavakkal, hogy megtudjuk, a 110 többszöröse-e a 10-nek, osszuk el a 110-et 10-tel. Ha a kapott eredmény természetes szám, akkor a 110 a 10 szorzója; különben nem.
Mivel a természetes számok halmaza végtelen, a többszörösét bármely egész szám szintén végtelen. Azonban a gyakorlatok megoldására több és MMC, jó, ha megírunk egy szám első többszörösét, hogy jobban elemezzük a többszörösének viselkedését.
Az alábbiakban felsoroljuk a 8, 10, 12, 20 és 40 első 10 szorzatát. Ők az első 10, mert ezeknek a számoknak az első 10 természetes számmal való megszorzásának eredménye.
10 első naturális: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
8 többszöröse: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
10 többszöröse: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
12 többszöröse: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
20 többszöröse: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
40 többszöröse: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Legkisebb közös többszörös
Megtalálni a legkisebb közös többszörös két szám között keresse meg a kisebb többszörös hogy közös bennük. Az mmc megtalálásához használt első technika az, hogy a két szám többszörösei között keressük. Nézd meg a példát:
A 10 és 12 közötti legkevesebb közös többszörös 60, mert a 10 és 12 többszörösei között a 60 a legkisebb szám, amely mindkettő többszöröse. Néz:
10 többszöröse: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
12 többszöröse: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Ehhez a két számhoz, amely kicsi, könnyen megtalálható az MMC. De mi van akkor, amikor 256 és 384 közötti MMC kiszámítására van szükség? Számos fárasztó szorzásra lesz szükség, ha folytatni szeretné ezt a módszert. Ehhez van egy gyakorlati módszer amelyet az alábbiakban tárgyalunk.
Bontási módszer az MMC kiszámításához
A legkisebb közös többszörös két szám között elkészítheti a elsődleges tényező bomlás azok. Például a 10-es és 12-es főtényezőkre bontás a következő:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Megjegyzés: Ha ismétlődő tényezők jelennek meg, írja őket hatvány alakban, ahogy a 12. szám bontásakor tették.
A 10 és 12 közötti MMC az elsődleges tényezők szorzata lesz, kivéve az ismétlődő tényezőket, amelyeknek a legkisebb a kitevője. Így a minimum a következő lesz:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Vegye figyelembe, hogy a 10-es szám bomlásából származó 2-es faktort figyelmen kívül hagyták, mivel ugyanazt a tényezőt, a 12-es szám bontásából, négyzetre emeltük.
Ez megkönnyíti az MMC kiszámítását 256 és 384 között. Néz:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
Az MMC a 2. termék lesz8·3 = 256·3 = 768.
2. példa: MMC 768 és 4608 között
768 = 28·3
4608 = 29·32
Az MMC lesz a termék: 29·32.
3. példa: Számítsa ki az MMC-t 2700 és 4608 között
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Vegye figyelembe, hogy a tényezők 2, 3 és 5. A legmagasabb kitevői a 29, 33 és 52. Tehát az MMC a következő lesz:
29·33·52 = 345600
Gyakorlati módszer az MMC kiszámítására
Meg lehet jegyezni, hogy a számokat bontani elsődleges tényezők, el kell osztani őket a lehető legkisebb elsődleges osztóval, és továbbra is figyelmen kívül kell hagyni azokat a tényezőket, amelyek ugyanabban a felosztásban ismétlődnek. Van egy módszer, amely képes elvégezni ezt a feladatot. Hogy megtanítsuk, felhasználjuk a MMC 1000 és 1024 között.
Írja egymás mellé ezt a két számot, vesszővel elválasztva, és tegyen tőlük jobbra egy függőleges oldalsó vonást:
1000, 1024 |
|
|
A nyomtól jobbra írja a legkisebb prímszámot, amely legalább egyet eloszt 1000 és 1024 között. Ebben az esetben a szám 2, és osztja mindkettőt.
1000, 1024 | 2
|
|
Közvetlenül mindegyik alatt írja be osztódásának eredményét 2-vel, és ezekhez az eredményekhez ismételje meg a fenti eljárást, amíg egyik számot sem lehet ketté osztani.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Megjegyezzük, hogy egy bizonyos ponton a 1000 eredményt találjuk az 1000 oszlopban, de a 125 nem osztható 2-vel. Az 1024 oszlopban csak 2-vel osztható eredményeket kapunk. Ebben az esetben továbbra is osztjuk az 1024 oszlopban szereplő számokat 2-vel, és ismételjük meg a 125-ös számot.
Ha az 1000 és az 1024 oszlopban lévő számok már nem oszthatók 2-vel, próbálkozzon a következő prímszámmal: a 3-as számmal. Ha nincs több osztó a 3-ból, próbálkozzon a következővel és így tovább, amíg meg nem kapja az „1,1” eredményt. A példa esetében a 125 nem osztható 3-mal, hanem 5-tel, ezért megismételjük a folyamatot úgy, hogy 5-öt tesszük a kötőjel jobbra. Néz:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Miután ez megtörtént, szorozza meg a függőleges vonaltól jobbra talált tényezőket:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
2. példa: Számítsa ki az MMC-t 432 és 384 között:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
Az MMC a következő lesz: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Három vagy annál nagyobb szám MMC kiszámításához egyszerűen használja az itt tárgyalt gyakorlati módszert, és helyezze ezeket a számokat egymás mellé.
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm