Az x számértékének megtalálásának egyik módja, az eljárás más néven keresse meg az egyenlet gyökereit vagy keresse meg az egyenlet megoldását, kiáll: Bhaskara formula ez a a négyzetek kitöltésének folyamata. Ez utóbbi áll a mai szöveg középpontjában.
Az egyenlet megoldásának számát annak mértéke adja meg. Ezért az első fokú egyenleteknek csak egy, a harmadik fokú egyenleteknek három megoldása van, és a másodfokú egyenleteknek két megoldása van, más néven gyökerek..
A másodfokú egyenletek, csökkentett formában, az alábbiak szerint írhatók fel:
fejsze2 + bx + c = 0
négyzet kitöltési módszer
Ebben az esetben a másodfokú egyenlet tökéletes négyzet alakú trinomiális
Egy figyelemre méltó termékből származó másodfokú egyenletek néven ismertek tökéletes négyzet háromszög. Gyökereinek megtalálásához az alábbiakban bemutatott módszert fogjuk használni:
Példa: Számítsa ki az x egyenlet gyökereit2 + 6x + 9 = 0.
Vegye figyelembe, hogy a b együttható 6 = 2,3. Ha egy figyelemre méltó termék formájában szeretné megírni, ellenőrizze, hogy c = 32, ami igaz, mivel 32 = 9 = c. Ily módon írhatjuk:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Vegye figyelembe, hogy egy figyelemre méltó termék két egyenlő polinom szorzata. Ezen egyenlet esetén:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Egy termék csak akkor nulla, ha egyik tényezője nulla. Ezért (x + 3) (x + 3) = 0 esetén szükséges, hogy (x + 3) = 0 vagy (x + 3) = 0. Ezért az egyenlet két egyenlő eredménye2 + 6x + 9 = 0, amelyek: x = - 3 vagy x = - 3.
Röviden: az x egyenlet megoldására2 + 6x + 9 = 0, írja:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 vagy x = - 3
Ebben az esetben a másodfokú egyenlet nem tökéletes négyzet alakú trinomiális
A második egyenlete, amelyben a b és a c együttható nem felel meg a fentiekben megállapított összefüggéseknek, nem tökéletes négyzetes trinomális. Ebben az esetben a fent kiemelt megoldási módszer használható néhány lépés hozzáadásával. Vegye figyelembe a következő példát:
Példa: Számítsa ki az x egyenlet gyökereit2 + 6x - 7 = 0.
Megjegyezzük, hogy ez az egyenlet nem tökéletes négyzet alakú trinomiális. A következő műveleteket használhatjuk:
Ne feledje, hogy b = 2 · 3, tehát az első tagban a megjelenő kifejezés x2 + 6x + 9, mert ebben a kifejezésben b = 2,3 és c = 32.
Ehhez az "átalakuláshoz" adjunk hozzá 3-at2 ezen egyenlet két tagján "adja át" a - 7-et a második tagnak, hajtsa végre a lehetséges műveleteket és figyelje meg az eredményeket:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 vagy x + 3 = - 4
Ezt az utolsó lépést két egyenletre kell felosztani, mivel a 16 gyöke lehet 4 vagy - 4 (ez csak az egyenletekben fordul elő. Ha azt kérdezik, mi a 16 gyöke, a válasz csak 4). Tehát meg kell találni az összes lehetséges eredményt. Folytatás:
x + 3 = 4 vagy x + 3 = - 4
x = 4 - 3 vagy x = - 4 - 3
x = 1 vagy x = - 7
Ebben az esetben az "a" együttható nem egyenlő 1-vel
Az előző esetek olyan másodfokú egyenletekre vonatkoznak, ahol az "a" együttható egyenlő 1-vel. Ha az „a” együttható eltér az 1-től, egyszerűen ossza el az egész egyenletet az „a” értékével, és folytassa a számításokat ugyanúgy, mint az előző esetben.
Példa: Számítson ki kétszer gyökeret2 + 16x - 18 = 0
Vegye figyelembe, hogy a = 2. Tehát ossza el a teljes egyenletet 2-vel, és egyszerűsítse az eredményeket:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x - 9 = 0
Miután ez megtörtént, ismételje meg az előző eset eljárásait.
x2 + 8x - 9 = 0
x2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 vagy x + 4 = –5
x = 5 - 4 vagy x = - 5 - 4
x = 1 vagy x = - 9
Nevezetes termékek és másodfokú egyenletek: A négyzet kitöltési módszer eredete
A másodfokú egyenletek nagyon hasonlítanak a figyelemre méltó szorzatokra összeg négyzet és négyzet a különbség.
A négyzetösszeg például két monomális négyzet összege. Néz:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
A fenti egyenlőség első tagja a figyelemre méltó termék a második pedig hogyan tökéletes négyzet háromszög. Ez utóbbi nagyon hasonlít a második fokozat egyenletére. Néz:
Tökéletes négyzetes háromszög: x2 + 2kx + k2
Másodfokú egyenlet: fejsze2 + bx + c = 0
Így, ha valamilyen módon lehet másodfokú egyenletet írni figyelemre méltó termékként, talán van olyan módszer is, amely megkeresi az eredményeket anélkül, hogy a Bhaskara.
Ehhez vegye figyelembe, hogy a fenti figyelemreméltó termékben a = 1, b = 2 · k és c = k2. Ily módon figyelemre méltó termék formájában olyan egyenleteket lehet írni, amelyek megfelelnek ezeknek a követelményeknek.
Tehát nézd meg az együtthatókat az egyenletben. Ha az „a” eltér 1-től, ossza el a teljes egyenletet az „a” értékével. Ellenkező esetben vegye figyelembe a „b” együtthatót. Ezen együttható felének számértékének meg kell egyeznie a „c” együttható négyzetgyökének számértékével. Matematikailag, figyelembe véve az egyenlet tengelyét2 + bx + c = 0, ha a = 1, és ezen felül:
B = c
2
Tehát ezt az egyenletet így írhatja:
fejsze2 + bx + c = (x + B) = 0
2
És a gyökerei lesznek - B és + b.
2 2
Ezért a négyzetes egyenletek gyökereinek kiszámításához használt összes elmélet a négyzetek kiegészítésének módszerével.
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
