Az Euler-reláció egy olyan egyenlőség, amely a konvex poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak számát viszonyítja. Azt mondja, hogy a lapok száma plusz a csúcsok száma egyenlő az élek számával plusz kettővel.
Az Euler-relációt a következő képlet adja meg:
Ahol,
F az arcok száma,
V a csúcsok száma,
A az élek száma.
Az Euler-relációt használhatjuk V, F vagy A ismeretlen értékeinek meghatározására vagy megerősítésére, amikor a poliéder konvex.
| Poliéder | F | V | A | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kocka | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| háromszög alakú piramis | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Ötszögletű alapprizma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| szabályos oktaéder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Példa
Egy konvex poliédernek 20 lapja és 12 csúcsa van. Határozza meg az élek számát!
Euler-relációt használva és A izolálást:
F és V értékeinek helyettesítése:
Arcok, csúcsok és élek
A poliéderek tömör, háromdimenziós geometriai formák, lekerekített oldalak nélkül. Ezek az oldalak a poliéder lapjai (F).
Az arcok találkozását éleknek nevezzük (A).
A csúcsok azok a pontok, ahol három vagy több él találkozik.
domború poliéderek
A domború poliéderek olyan geometriai testek, amelyek nem mutatnak homorúságot, ezért egyik oldalukon sincsenek 180º-nál nagyobb belső szögek.
Ebben a poliéderben a kékkel jelölt belső szög 180º-nál nagyobb, tehát nem konvex poliéder.
Lásd bővebben poliéder.
Gyakorlatok az Euler-relációról
1. Feladat
Határozza meg egy 9 élű és 6 csúcsú poliéder lapjainak számát.
Helyes válasz: 5 arc.
Euler-relációt használva:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11-6
F = 5
2. gyakorlat
A dodekaéder egy platóni test, 12 lappal. Tudva, hogy 20 csúcsa van, határozza meg az élek számát.
Helyes válasz:
Euler-relációt használva:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32-2 = A
30 = A
3. gyakorlat
Mi a neve annak a 4 csúcsú és 6 élű poliédernek a lapjainak számához képest, ahol a lapok háromszögek?
Válasz: Tetraéder.
Meg kell határoznunk az arcok számát.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8-4
F = 4
Tetraédernek nevezzük azt a poliédert, amelynek 4 lapja van háromszög formájában.
Ki volt Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) a történelem egyik legtapasztaltabb matematikusa és fizikusa volt, valamint hozzájárult a csillagászati tanulmányokhoz. Németül beszélő svájci, fizikaprofesszor volt a Szentpétervári Tudományos Akadémián, majd a Berlini Akadémián. Számos matematikai tanulmánya jelent meg.
Tanuld meg még:
- Geometriai testek
- Térgeometria
- Geometriai formák
- Prizma - Geometrikus ábra
- Piramis
- Útburkoló kő
- Kocka
