Egy függvényt hívunk polinomfüggvény, ha kialakulási törvénye a polinom. A polinomfüggvényeket polinomjuk mértéke szerint osztályozzuk. Például, ha a függvényképződési törvényt leíró polinom második fokú, akkor azt mondjuk, hogy ez egy második fokú polinomfüggvény.
A polinom függvény számértékének kiszámításához csak cserélje ki a változót a kívánt értékre, a polinom numerikus kifejezéssé alakítása. A polinomfüggvények tanulmányozása során a grafikus ábrázolás meglehetősen visszatérő. Az 1. fokú polinom függvény grafikonja mindig megegyezik egy egyenes vonallal. A 2. fokú függvény grafikonja megegyezik egy parabolával.
Olvassa el: Mi a különbség az egyenlet és a függvény között?
Mi a polinom függvény?
Egy függvény f: R → R polinom függvényként ismert, ha kialakulási törvénye polinom:
f (x) = anemxnem + an-1xn-1 + an-2xn-2 +… + A2x2 + a1x + a0
Mire:
x → a változó.
n → jelentése a természetes szám.
Anem, an-1, an-2, … A2,A1 és a0 → együtthatók.
Az együtthatók valós számok amelyek a polinom változót kísérik.
Példák:
f(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x3 + x - 7
f(x) = x9
Hogyan lehet meghatározni a polinom függvénytípust?
A polinomfüggvényeknek több típusa van. Ő az a polinom mértéke szerint osztályozzák. Ha a fokozat 1, akkor a függvény az 1. fokú polinomiális függvény vagy az 1. fokú polinomiális függvény, vagy affin függvény. Az alábbiakban lásd az 1. foktól a 6. fokig terjedő függvényeket.
Lásd még: Mi az injektor funkció?
a polinomiális funkció mértéke
Ami meghatározza a polinom funkció mértékét, az a polinom mértéke, tehát bármilyen fokú polinomfüggvényünk lehet.
1. fokú polinomfüggvény
Ahhoz, hogy a polinom függvény 1. vagy 1. fokú polinom legyen, a függvény kialakulásának törvénye kell, hogy legyen f(x) = ax + b, ahol a és b valós számok és ≠ 0. A fokú polinomiális függvény affin függvényként is ismert.
Példák:
f(x) = 2x - 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
2. fokú polinomfüggvény
Ahhoz, hogy egy polinomfüggvény 2. fokú polinom vagy 2. fokú polinom legyen, a funkcióképző törvény kell, hogy legyenf(x) = ax² + bx + c, ahol a, b és c valós számok és ≠ 0. Egy 2. fokú polinomfüggvény másodfokú függvényként is ismert.
Példák:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = - x2 + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
3. fokozatú polinomfüggvény
Ahhoz, hogy a polinom függvény 3. vagy 3. fokú polinom legyen, a funkcióképző törvény kell, hogy legyenf(x) = ax3 + bx² + cx + d, ahol a és b valós számok és ≠ 0. A 3. fokozat funkciója köbfüggvénynek is nevezhető.
Példák:
f(x) = 2x3-3x2 + 2x + 1
f(x) = -5x3 + 4x2 + 2x
f(x) = 3x3 + 8x - 4
f(x) = -7x3
4. fokozatú polinomfüggvény
Mind a 4. fok polinomiuma, mind a többiek esetében az érvelés ugyanaz.
Példák:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
5. fokozatú polinomfüggvény
Példák:
f(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
A 6. fok polinomiuma
Példák:
f(x) = 2x6 - 7x5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
A függvény numerikus értéke
A szerepalakítási törvény ismerete f(x), a számérték kiszámításához Foglalkozása egy értékhez nem, csak kiszámolja az értékét f(nem). Ebből kifolyólag, a változót helyettesítettük a formációs törvényben.
Példa:
adott a funkció f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, megkapjuk az x = 2 függvény numerikus értékét.
Az értékének megtalálásához f(x) amikor x = 2, megtesszük f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Mondhatjuk, hogy a függvény képe vagy a függvény számértéke, ha x = 2, egyenlő 14-vel.
Lásd még: Inverz függvény - az f (x) függvény inverzéből áll
Polinomiális függvénydiagramok
Képviselni a Derékszögű sík a függvény, amelyet az x tengelyen képviselünk, az x értékét és a képét f(x), a sík pontjai szerint. A derékszögű sík pontjai a (nem, f(nem)).
1. példa:
f(x) = 2x - 1
Az 1. fokú függvény grafikonja mindig a egyenes.
2. példa:
f(x) = x² - 2x - 1
A 2. fokú függvénydiagram mindig a példázat.
3. példa:
f(x) = x³ - x
A 3. fokú függvény grafikonja köbös.
A polinomok egyenlősége
Ahhoz, hogy két polinom egyenlő legyen, szükséges, hogy a Összehasonlítás közte Ön a te feltételek, az együtthatók megegyeznek.
Példa:
Tekintettel a következő p (x) és g (x) polinomokra, és tudván, hogy p (x) = g (x), keresse meg a, b, c és d értékét.
p (x) = 2x3 + 5x2 + 3x-4
g (x) = ax3 + (a + b) x2 + (c - 2) x + d
Mivel a polinomok megegyeznek, megvan ez:
ax³ = 2x³
(a + b) x2 = 5x2
(c - 2) x = 3x
d = -4
Vegye figyelembe, hogy már megvan a d értéke, mivel d = -4. Az egyes együtthatók kiszámításakor:
ax³ = 2x³
a = 2
Az a értékének ismeretében keressük meg b értékét:
(a + b) x2 = 5x2
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
C értékének megkeresése:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Lásd még: Polinomegyenlet - Az az egyenlet, amelynek a polinomja egyenlő 0-val
Polinomiális műveletek
Két polinom alapján lehetséges a összeadás, kivonás és ezeknek az algebrai kifejezéseknek a szorzata.
Kiegészítés
Két polinom hozzáadását a összege Önrhasonló kezek. Ahhoz, hogy két kifejezés hasonló legyen, a szó szerinti résznek (betű kitevővel) azonosnak kell lennie.
Példa:
Legyen p (x) = 3x² + 4x + 5 és q (x) = 4x² - 3x + 2, és számítsa ki a p (x) + q (x) értékét.
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Hasonló kifejezések kiemelése:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Most adjuk hozzá a hasonló kifejezések együtthatóit:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Polinomiális kivonás
A kivonás nagyon hasonló az összeadáshoz, azonban a művelet végrehajtása előtt ellenkező polinomot írunk.
Példa:
Adatok: p (x) = 2x² + 4x + 3 és q (x) = 5x² - 2x + 1, számítsuk ki p (x) - q (x).
A q (x) ellentétes polinomja -q (x), ami nem más, mint a q (x) polinom, az egyes kifejezések ellentéteivel.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x2 + 2x - 1
Tehát kiszámoljuk:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
A hasonló kifejezések leegyszerűsítésével:
(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Polinomi szorzás
A polinom szorzásához a disztribúciós tulajdon alkalmazása, vagyis az első polinom minden tagját megszorozzuk a második tag minden tagjával.
Példa:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
polinomiális felosztás
A felosztás két polinom között, ugyanazt a módszert használjuk, amelyet két szám felosztásának kiszámításához használunk, a kulcsok módszerét.
Példa:
Számítsa ki p (x): q (x), tudván, hogy p (x) = 15x² + 11x + 2 és q (x) = 3x + 1.
Olvassa el: Praktikus Briot-Ruffini eszköz - egy másik módszer a polinomok osztódásának kiszámítására
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Egy járműalkatrész-ipar napi előállítási költségét bizonyos mennyiségű alkatrész előállításához a formálási törvény adja meg f(x) = 25x + 100, ahol x az aznap előállított darabszám. Tudva, hogy egy adott napon 80 darabot gyártottak, ezek gyártási költsége a következő volt:
A) 300 BRL
B) 2100 BRL
C) BRL 2000
D) 1800 BRL
E) 1250 BRL
Felbontás
B alternatíva
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
2. kérdés - A h (x) = függvény mértéke f(x) · g(x), tudva ezt f (x) = 2x2 + 5x és g(x) = 4x - 5:
1-ig
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Felbontás
C alternatíva
Először meg fogjuk találni azt a polinomot, amely a közötti szorzás eredménye f(X és g(x):
f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(x) · g(x) = 8x3 - 10x2 + 20x - 25x
Megjegyezzük, hogy ez egy polinom 3 fokú, tehát a h (x) függvény foka 3.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm