Ön komplex számok a megoldás szükségességéből fakadnak egyenletek hogy van negatív számgyök, amelyet addig nem sikerült valós számokkal dolgozni. A komplex számokat háromféleképpen lehet ábrázolni: a algebrai forma (z = a + bi), valódi részből áll A és egy képzeletbeli rész B; A Geometriai forma, az összetett síkban, más néven Argand-Gauss síkon ábrázolva; és a tiéd trigonometrikus forma, poláris alaknak is nevezik. Ábrázolásuk alapján, mivel numerikus halmazgal dolgozunk, a komplex számoknak jól definiált műveletei vannak: összeadás, kivonás, szorzás, osztás és potencírozás.
A komplex síkban lévő geometriai ábrázolás révén meghatározzuk a modult is (amelyet a |z|) egy komplex szám - amely a távolság a komplex számot képviselő ponttól az origóig - és mi az a argumentuma komplex szám - amely a vízszintes tengely és a pálya között kialakult szög, amely összeköti az origót a számot ábrázoló ponttal összetett.
összetett számok iránti igény
A matematikában a numerikus halmaz kibővítése egy új halmazra a történelem folyamán valami egészen általános dolog volt. Kiderült, hogy ennek során a matematika fejlődött, majd tovább
kielégíteni az akkori igényeket, azt vették észre, hogy vannak olyan számok, amelyek nem tartoznak az általa hivatkozott numerikus halmazhoz. Így történt a megjelenésével numerikus halmazok egész számokat, racionális értékeket, irracionális értékeket és valós értékeket, és ez sem volt másképp, amikor szükség volt a valós számok halmazának a komplex számokra való kiterjesztésére.Amikor megpróbáljuk megoldani másodfokú egyenletek, elég gyakori, hogy megtaláljuk a negatív szám négyzetgyöke, amelyet a valós számok halmazában lehetetlen megoldani, ezért komplex számokra van szükség. E számok tanulmányozásának kezdete fontos matematikusoktól, például Giralmo Cardonótól kapott hozzászólásokat, de készletüket Gauss és Argand formalizálta.
Olvassa el: A komplex számok összegének geometriai ábrázolása
komplex szám algebrai alakja
Amikor olyan másodfokú egyenletet próbálunk megoldani, mint például x² = –25, gyakran azt mondják, hogy megoldhatatlan. Az algebrizés megkísérlésével azonban a algebrai ábrázolás, amely lehetővé teszi a műveletek elvégzését ezekkel a számokkal, annak ellenére, hogy nem tudja kiszámítani a negatív szám négyzetgyökét.
A helyzetek megoldásának megkönnyítése érdekében, amelyekben a négyzetgyök negatív szám esetén az képzeletbeli egység.
Tehát az x² = -25 bemutatott egyenlet elemzésével megállapíthatjuk, hogy:
Így az egyenlet megoldása -5én e5én.
Az algebrai forma meghatározásához a levél én, ismert, mint egy komplex szám képzeletbeli egysége. A komplex számot a következő ábrázolja:
z = A + Bén
Mire A és B valós számok.
A: valós rész, amelyet a = Re (z) jelöl;
B: képzeletbeli rész, amelyet Im (z) jelöl;
én: képzeletbeli egység.
Példák
A) 2 + 3én
B) -1 + 4én
ç) 5 – 0,2én
d) -1 – 3én
amikor az a valós rész semmis, a szám néven ismert tiszta képzeletbelipéldául -5én és 5én tiszta képzelőerők, mert nincs igazi részük.
Ha a képzeletbeli rész nulla, a komplex szám is valós szám.
Komplex számokkal végzett műveletek
Mint minden numerikus halmaz, a műveleteknek is meg kell lenniük jól körülhatárolható, ezért lehetséges a komplex számok négy alapműveletének elvégzése, figyelembe véve a bemutatott algebrai formát.
Két összetett szám hozzáadása
Végezni a kiegészítés két z komplex szám közül1 ez2, hozzáadjuk a z valós részét1 ez2 illetve a képzeletbeli rész összege.
Lenni:
z1 = a + bén
z2 = c + dén
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)én
1. példa
Z összegének realizálása1 és z2.
z1 = 2 + 3én
z2 = 1 + 2én
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)én
z1 +z2= 3 + 5én
2. példa
Z összegének realizálása1 és z2.
z1 = 5 – 2én
z2 = – 3 + 2én
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)én
z1+z2 = (5 – 3) + 0én
z1 +z2= 3 + 0én = 3
Lásd még: A komplex számok összegének geometriai ábrázolása
Két komplex szám kivonása
Mielőtt beszélnénk kivonás, meg kell határoznunk, mi az a egy komplex szám inverze, vagyis z = a + bén. Z inverze, amelyet –z jelöl, az –z = –a –b komplex számén.
A z közötti kivonás végrehajtásához1és -z2, valamint ezen felül meg fogjuk tenni a kivonás a valós részek és a képzeletbeli részek között külön-külön, de meg kell érteni, hogy -z2 ez egy összetett szám inverze, ami szükségessé teszi a jeljáték lejátszását.
1. példa
Z kivonásának végrehajtása1 és z2.
z1 = 2 + 3én
z2 = 1 + 2én
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)én
z1–z2= 1 + 1én = 1+ én
2. példa
Z kivonásának végrehajtása1 és z2.
z1= 5 – 2én
z2 = – 3 + 2én
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)én
z1–z2= (5 + 3) + (–4)én
z1 –z2= 8 + (–4)én
z1 –z2= 8 –4én
Képzeletbeli egységhatalmak
Mielőtt a szorzásról beszélnénk, meg kell értenünk a képzeletbeli egység erejét. Metódus keresésében a énnem, fel kell ismerni, hogy ezek az erők ciklikus módon viselkednek. Ehhez számítsunk ki néhányat potencia ban ben én.
Kiderült, hogy a következő erők nem mások, mint az ismétlés, vegye figyelembe, hogy:
én 4 = én 2 · én 2 = (–1) (–1) = 1
én 5 = én 2 · én 3 = (–1) (–én) = én
Amint folytatjuk a teljesítmények kiszámítását, a válaszok mindig az {1, i, –1, - halmaz elemei lesznek.én}, majd megtalálja az egység teljesítményét énnem, elosztjuk n (a kitevőt) 4-gyel, és a pihenése felosztás (r = {0, 1, 2, 3}) lesz a következő új kitevője én.
Példa1
Az i25
Ha 25-et elosztunk 4-gyel, akkor a hányados 6, a fennmaradó rész pedig 1 lesz. Tehát nekünk:
én 25 = én1 = én
2. példa
Kiszámítása én 403
Amikor elosztjuk a 403-at 4-gyel, a hányados 100 lesz, mert 100 · 4 = 400, a többi pedig 3 lesz, ezért meg kell:
én 403 =én 3 = -én
Összetett számok szorzata
Két komplex szám szorzatának végrehajtásához alkalmazzuk a disztribúciós tulajdon. Lenni:
z1= a + bén
z2= c + dén, majd a termék:
z1 · z2 = (a + bén) (c + dén), alkalmazva az elosztási tulajdonságot,
z1 · z2 = ac + hirdetésén + cbén + bdén 2, de mint láttuk, én ² = -1
z1 · z2 = ac + hirdetésén + cbi - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)én
Ennek a képletnek a segítségével tetszőleges két komplex szám szorzatát lehet megtalálni, de az a-ban Általában nem kell díszíteni, mivel a szóban forgó számításhoz csak az ingatlant alkalmazzuk elosztó.
Példa
A (2 + 3én) (1 – 4én):
(2+3én) (1 – 4én) = 2 – 8én + 3én– 12én ², erre emlékezve i² = -1:
(2 + 3én) (1 – 4én) = 2 – 8én + 3én+ 12
(2 + 3én) (1 – 4én) = (2 + 12) + (– 8 + 3)én
(2+3én) (1 – 4én) = 14 – 5én
Hozzáférhet továbbá: Összetett szám összeadás, kivonás és szorzás
Összetett számkonjugátum
Mielőtt az osztásról beszélnénk, meg kell értenünk, mi egy komplex szám konjugátuma. A koncepció egyszerű, egy komplex szám konjugátumának megtalálása felváltanimos a képzeletbeli rész jele.
két komplex szám felosztása
Végezni a két komplex szám felosztása, meg kell szoroznunk a frakciót a nevező konjugátumával, hogy jól meg lehessen határozni, mi a valós rész és mi a képzeletbeli rész.
Példa
A (6 - 4én): (4 + 2én)
Lásd még: A komplex számokkal ellentétes, konjugált és egyenlő
Komplex sík vagy Argand-Gauss sík
Összetett tervként ismert vagy A tervrgand-gauss, megengedi a ábrázolás geometriai formában komplex szám, ez a terv adaptáció a Derékszögű sík komplex számok ábrázolására. A vízszintes tengely néven ismert Re (z) valós rész tengely, a függőleges tengely pedig a képzeletbeli rész tengelye Im (z). Tehát a komplex szám, amelyet képvisel a + bén generálja a rendezett pár (a, b) alkotta komplex sík pontjait.
Példa
A 3 + 2 szám ábrázolásaén Z (3,2) geometriai alakban.
Komplex szám modulja és argumentuma
A komplex szám modulusa geometriai szempontból a távolság az (a, b) ponttól amely ezt a számot képviseli a komplex síkban az eredetigvagyis a (0,0) pont.
Mint láthatjuk, | z | a hipotenusz derékszögű háromszög, ezért kiszámítható a Pitagorasz tétel, ezért meg kell tennünk:
Példa:
A z = 1 + 3 modulus kiszámításaén
O Aérv egy komplex szám geometriai szempontból az szög amelyet a vízszintes tengely és a | z | alkotnak
A szögérték megtalálásához:
A cél az θ = arg z szög megtalálása.
Példa:
Keresse meg a komplex szám argumentumot: z = 2 + 2én:
Mivel a és b pozitívak, tudjuk, hogy ez a szög az első negyedben van, ezért számítsuk ki | z |
A | z | ismeretében kiszámítható a szinusz és a koszinusz.
Mivel ebben az esetben a és b egyenlő 2-vel, akkor a sinθ kiszámításakor ugyanazt a megoldást találjuk a koszinuszra is.
A sin Kn és cosθ értékeinek ismerete, a figyelemreméltó szögek táblázatának megkeresése és ennek ismerete A θ az első kvadránshoz tartozik, így degrees fokokban vagy radiánokban található, ezért következtetünk mit:
Trigonometrikus vagy poláris forma
A komplex szám ábrázolása a trigonometrikus forma csak azután lehetséges, hogy megértettük a modul és az érvelés fogalmát. Ezen ábrázolás alapján fontos koncepciókat dolgoznak ki a komplex számok fejlettebb szintű tanulmányozásához. A trigonometrikus ábrázolás végrehajtásához emlékezni fogunk a z = a + bi algebrai formájára, azonban a komplex sík elemzésekor:
Az a = | z | értékeinek algebrai formában történő behelyettesítésével cos θ és b = | z | sen θ, meg kell tennünk:
z = a + bén
Z = | z | -vel cos θ + | z | senθ én, | z | bizonyítékként eljutunk a trigonometrikus forma képletéhez:
z = | z | (cos θ + én · Bűn θ) |
Példa: Írja trigonometrikus formában a számot
Trigonometrikus formában történő íráshoz szükségünk van a z argumentumra és modulusra.
1. lépés - | z | kiszámítása
A | z | ismeretében meg lehet találni a θ értékét a figyelemreméltó szögek táblázata alapján.
Mostantól lehetőség van az z szám trigonometrikus alakjára történő írására a szög fokban vagy a radiánban mért szöggel.
Olvassa el: Komplex számok sugárzása trigonometrikus formában
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (UFRGS) Tekintettel az z komplex számokra1 = (2, –1) és z2 = (3, x), ismert, hogy a z közötti szorzat1 és z2 valós szám. Tehát x egyenlő:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Felbontás
D. alternatíva
Ahhoz, hogy a szorzat valós szám legyen, akkor a képzeletbeli rész nulla.
Ha ezeket a számokat algebrai formába írjuk, meg kell tennünk:
z1 = 2 – 1én és z2 = 3 + xén
z1 · Z2 = (2 – 1én) (3 + xén)
z1 · Z2 = 6 + 2xén –3i - xén ²
z1 · Z2 = 6 + 2xén –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)én
Mivel érdekünk, hogy a képzeletbeli rész egyenlő legyen nullával, akkor 2x - 3 = 0 esetén megoldjuk
2. kérdés - (UECE) Ha i az a komplex szám, amelynek négyzete egyenlő -1, akkor az 5 értékeén 227 + én 6 – én 13 ugyanaz, mint:
A) én + 1
b) 4én –1
c) -6én –1
d) -6én
Felbontás
C. alternatíva
Ennek a kifejezésnek a megoldásához meg kell találni az egyes számok maradékát 4-gyel osztva.
A 227: 4 az 56-os hányadost és a maradék 3-ot eredményezi.
én 227 = én 3 = –én
A 6: 4 az 1. hányadot és a 2. maradékot eredményezi.
én 6 = én 2 = –1
A 13: 4 a 3. hányadost és az 1. maradékot eredményezi.
én 13 = én1 = én
Tehát nekünk:
5én 227 + én 6 – én 13
5 (–én) + (–1) – én
–5én –1 – én
–6én – 1
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm