A Koszinuszi törvény bármely háromszög egyik oldalának vagy ismeretlen szögének a mérésére szolgál, a többi mérték ismeretében.
Nyilatkozat és képletek
A koszinusztétel kimondja, hogy:
"Bármely háromszögben az egyik oldalon lévő négyzet a másik két oldal négyzetének összege, mínusz e két oldal szorzatának kétszerese a közöttük lévő szög koszinuszával.."
Így a koszinuszok törvénye szerint a következő összefüggések vannak a háromszög oldalai és szögei között:
Példák
1. A háromszög két oldala 20 cm és 12 cm, és 120 ° -os szöget képez közöttük. Számítsa ki a harmadik oldal mérését.
Megoldás
A harmadik oldal mértékének kiszámításához a koszinusz törvényét fogjuk használni. Ehhez vegyük fontolóra:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (a trigonometrikus táblákban található érték).
Ezeknek az értékeknek a helyettesítése a képletben:
A2 = 202 + 122 - 2. 20. 12. (- 0,5)
A2 = 400 + 144 + 240
A2 = 784
a = √784
a = 28 cm
Tehát a harmadik oldal mér 28 cm.
2. Határozza meg az AC oldal és az A csúcsú szög mértékét a következő ábra alapján:
Először határozzuk meg az AC = b értéket:
B2 = 82 + 102 – 2. 8. 10. cos 50.
B2 = 164 – 160. cos 50.
B2 = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82
Most határozzuk meg a szögméretet a koszinuszok törvényével:
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82. kötözősaláta
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º
jegyzet: A koszinuszszögek értékeinek megtalálásához a Trigonometrikus táblázat. Ebben minden trigonometrikus függvényre (szinusz, koszinusz és tangens) megadjuk az 1º és 90º közötti szögértékeket.
Alkalmazás
A koszinustörvény bármely háromszögre alkalmazható. Legyen az hegyesszögű (90 ° -nál kisebb belső szög), tompaszögű (90 ° -nál nagyobb belső szög) vagy téglalap (90 ° -kal megegyező belső szög).
Mi a helyzet a téglalap alakú háromszögekkel?
Alkalmazzuk a koszinusz törvényét a 90 ° szöggel szemközti oldalon, az alábbiak szerint:
A2 = b2 + c2 - 2. B. ç. cos 90º
Mivel cos 90º = 0, a fenti kifejezés a következõvé válik:
A2 = b2 + c2
Ami megegyezik a kifejezés kifejezésével Pitagorasz tétel. Így azt mondhatjuk, hogy ez a tétel a koszinusz-törvény sajátos esete.
A koszinustörvény olyan problémákra alkalmas, ahol ismerünk két oldalt és a közöttük lévő szöget, és meg akarjuk találni a harmadik oldalt.
Akkor is használhatjuk, ha ismerjük a háromszög három oldalát, és meg akarjuk ismerni az egyik szöget.
Azokban a helyzetekben, ahol két szöget ismerünk és csak az egyik oldalt, és meg akarjuk határozni a másik oldalt, kényelmesebb használni a a bűnök törvénye.
A koszin és a szinusz meghatározása
A szög koszinuszát és szinuszát a következők definiálják trigonometrikus arányok derékszögű háromszögben. A derékszöggel (90º) szemközti oldalt hipotenusznak, a másik két oldalt lábaknak nevezzük, az alábbi ábrán látható módon:
A koszinust ezután a szomszédos oldal és a hipotenusz mérésének arányaként határozzuk meg:
A szinusz viszont az ellenkező láb és a hipotenusz mérése közötti arány.
Felvételi vizsga gyakorlatok
1. (UFSCar) Ha egy háromszög oldalai x, x + 1 és x +2, akkor bármelyikre x valós és 1-nél nagyobb, a háromszög legnagyobb belső szögének koszinusa megegyezik:
a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x
E) x - 3 / 2x alternatíva
2. (UFRS) Az alábbi ábrán ábrázolt háromszögben AB és AC értéke azonos, és a BC oldalához viszonyított magasság megegyezik a BC mértékének 2/3-mal.
Ezen adatok alapján a CÂB szög koszinusa:
a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6
A) alternatíva 7/25
3. (UF-Juiz de Fora) A háromszög két oldala 8 m és 10 m hosszú, és 60 ° -os szöget zár be. A háromszög harmadik oldala a következőket méri:
a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m
A) alternatíva 2√21 m
További információ a témáról:
- Trigonometria
- Trigonometria a téglalap háromszögben
- Trigonometriai gyakorlatok a jobb háromszögben
- Trigonometrikus kapcsolatok
- Trigonometrikus kör
- Trigonometrikus függvények
