Az mmc és az mdc a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó két vagy több szám között.
Ne hagyja ki a lehetőséget, hogy tisztázza minden kétségét az alábbiakban ismertetett és megoldott gyakorlatok révén.
Javasolt gyakorlatok
1. Feladat
A 12. és a 18. számhoz viszonyítva határozza meg anélkül, hogy figyelembe venné 1-et.
a) A 12 elválasztói.
b) A 18 elválasztói.
c) A 12 és 18 közös elválasztói.
d) A 12 és 18 legnagyobb közös osztója.
a) 2, 3, 4, 6 és 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 és 6
d) 6
2. gyakorlat
Számítsa ki az MMC-t és az MDC-t 36 és 44 között.
3. gyakorlat
Vegyünk egy x számot, természetes. Ezután minősítse az állításokat igaznak vagy hamisnak, és igazolja.
a) A 24 és x legnagyobb közös osztója 7 lehet.
b) Az 55 és 15 legnagyobb közös osztója 5 lehet.
a) Nem, mert a 7 nem osztója a 24-nek.
b) Igen, mivel az 5 közös osztó 55 és 15 között.
4. gyakorlat
A TodaMatéria csapat új versenyautójának bemutatójára rendezett szokatlan versenyt rendeztek. Három jármű vett részt: a hordozórakéta, az előző évad autója és a rendes személygépkocsi.
Az áramkör ovális, a három együtt indult és állandó sebességet tartott. Az indító kocsi 6 percet vesz igénybe egy kör teljesítéséhez. A tavalyi szezon autójának 9, míg a személygépkocsinak 18 percre van szüksége egy kör teljesítéséhez.
A verseny megkezdése után mennyi időbe telik, amíg újra együtt átmennek ugyanazon a kiindulási ponton?
Ennek meghatározásához ki kell számítani az mmc-t (6, 9, 18).
Tehát 18 perc múlva ismét ugyanazon a kiindulóponton mentek keresztül.
5. gyakorlat
Egy cukrászdában 120, 180 és 240 centiméteres hálótekercsek találhatók. A szövetet egyenlő darabokra kell vágnia, a lehető legnagyobbra, és semmi sem marad. Mekkora lehet az egyes hálósávok maximális hossza?
A meghatározáshoz ki kell számolnunk az mdc-t (120 180 280).
A lehető leghosszabb, túlnyúlások nélkül, 60 cm lesz.
6. gyakorlat
Határozza meg az MMC-t és az MDC-t a következő számok alapján.
a) 40. és 64
Helyes válasz: mmc = 320 és mdc = 8.
Az mmc és az mdc megtalálásához a leggyorsabb módszer a számok egyidejű felosztása a lehető legkisebb prímszámokkal. Lásd lentebb.
Ne feledje, hogy az mmc-t a faktoringban használt számok szorzatával számolják, a gcd-t pedig a két szám egyidejűleg osztó számainak szorzatával.
b) 80, 100 és 120
Helyes válasz: mmc = 1200 és mdc = 20.
A három szám egyidejű bontása megadja a bemutatott értékek mmc és mdc értékét. Lásd lentebb.
A prímszámokkal való felosztás megadta az mmc eredményét a tényezők és az mdc szorzatával, szorozva a három számot egyszerre elosztó tényezőket.
7. gyakorlat
A prímtényező felhasználásával határozzuk meg: mi az a két egymást követő szám, amelyek mmc értéke 1260?
a) 32 és 33
b) 33 és 34
c) 35 és 36
d) 37. és 38.
Helyes alternatíva: c) 35. és 36.
Először is meg kell számolnunk az 1260 számot, és meg kell határoznunk az elsődleges tényezőket.
A tényezők szorzásával azt találjuk, hogy az egymást követő számok 35 és 36.
Bizonyításképpen számítsuk ki a két szám mmc-jét.
8. gyakorlat
Hulladékvadászatot tartanak a 6., 7. és 8. osztály három osztályának diákjaival a diáknap megünneplésére. Lásd alább az egyes osztályok tanulóinak számát.
| Osztály | 6º | 7º | 8º |
| A tanulók száma | 18 | 24 | 36 |
Határozza meg az mdc segítségével az osztályok maximális létszámát, akik egy csapat részeként részt vehetnek a versenyen.
Ezt követően válaszoljon: hány csapatot alakíthat ki a 6., a 7., illetve a 8. osztály, csapatonként a maximális létszámmal?
a) 3, 4 és 5
b) 4, 5 és 6
c) 2, 3 és 4
d) 3, 4 és 6
Helyes alternatíva: d) 3, 4 és 6.
A kérdés megválaszolásához el kell kezdeni azzal, hogy a megadott értékeket prímszámokba kell számolni.
Ezért megállapítottuk a csapatonként maximális létszámot, és így minden osztálynak megvan:
6. év: 6/18 = 3 csapat
7. év: 6/24 = 4 csapat
8. év: 36/6 = 6 csapat
A felvételi vizsgák megoldottak
1. kérdés
(Tanuló matróz - 2016) Legyen A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) és y = mdc (A, B), akkor x + y értéke egyenlő:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Helyes alternatíva: d) 520.
Az x és y összegének értékének megtalálásához először meg kell találni ezeket az értékeket.
Ilyen módon a számokat prímtényezőkké alakítjuk, majd kiszámítjuk az mmc és mdc értékeket a megadott számok között.
Most, hogy tudjuk x (mmc) és y (mdc) értékét, megtalálhatjuk az összeget:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternatíva: d) 520
2. kérdés
(Unicamp - 2015) Az alábbi táblázat néhány táplálkozási értéket közöl ugyanazon mennyiségű két ételnél, A és B között.
Tekintsük az A és B élelmiszerek két (azonos energiaértékű) izokalorikus részét. Az A fehérje mennyisége és a B fehérje mennyisége közötti arány egyenlő
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Helyes alternatíva: c) 8.
Az A és B ételek izokalorikus részeinek megkereséséhez számítsuk ki az mmc-t a megfelelő energiaértékek között.
Tehát meg kell fontolnunk az egyes élelmiszerek szükséges mennyiségét a kalóriaérték eléréséhez.
Figyelembe véve az A ételt, hogy a kalóriaérték 240 Kcal legyen, meg kell szorozni a kezdeti kalóriákat 4-gyel (60%). 4 = 240). Ami a B ételt illeti, meg kell szorozni 3-mal (80. 3 = 240).
Így az A táplálékban lévő fehérje mennyiségét megszorozzuk 4-gyel, a B-ételben lévő mennyiségét pedig 3-mal:
A étel: 6. 4 = 24 g
B étel: 1. 3 = 3 g
Így megvan, hogy ezeknek a mennyiségeknek az arányát az alábbiak adják meg:
Alternatíva: c) 8
3. kérdés
(UERJ - 2015) Az alábbi táblázat három lehetőséget jelöl meg n notebook csomagokba rendezésére:
Ha n kisebb, mint 1200, akkor az n legnagyobb értéke számjegyeinek összege:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Helyes alternatíva: b) 17.
A táblázatban megadott értékeket figyelembe véve a következő összefüggések vannak:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Vegye figyelembe, hogy ha hozzáadunk 1 könyvet az n értékéhez, akkor a három helyzetben már nem lesz maradékunk, mivel egy másik csomagot alkotnánk:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Így az n + 1 a 12, 18 és 20 közös többszöröse, tehát ha megtaláljuk az mmc-t (amely a legkisebb közös többszörös), onnantól megtalálhatjuk az n + 1 értékét.
Az mmc kiszámítása:
Tehát az n + 1 legkisebb értéke 180 lesz. Azt akarjuk azonban megtalálni, hogy a legnagyobb értéke n kisebb, mint 1200. Tehát keressünk egy többszöröst, amely kielégíti ezeket a feltételeket.
Ehhez szorozzuk meg 180-at, amíg meg nem találjuk a kívánt értéket:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (ez az érték nagyobb, mint 1 200)
Tehát kiszámíthatjuk n értékét:
n + 1 = 1080
n = 1080 - 1
n = 1079
Számainak összegét az alábbiak adják meg:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternatíva: b) 17
Lásd még: MMC és MDC
4. kérdés
(Enem - 2015) Egy építész házat újít fel. A környezethez való hozzájárulás érdekében úgy dönt, hogy újból felhasználja a házból vett deszkákat. 40 táblája van, 540 cm méretű, 30 db 810 cm-es és 10 db 1080 cm-es, mindegyik azonos szélességű és vastagságú. Megkérte egy ácsot, hogy vágja el a deszkákat azonos hosszúságú darabokra, távozás nélkül maradványokat, és úgy, hogy az új darabok a lehető legnagyobbak, de rövidebbek legyenek hogy 2 m.
Az építész kérésére az ácsnak elő kell állítania
a) 105 darab.
b) 120 darab.
c) 210 darab.
d) 243 darab.
e) 420 darab.
Helyes alternatíva: e) 420 darab.
Mivel a darabokat azonos hosszúságúnak és a lehető legnagyobbnak kérik, kiszámítjuk az mdc-t (maximális közös osztót).
Számítsuk ki az mdc-t 540, 810 és 1080 között:
A megtalált érték azonban nem használható, mivel a hosszúság korlátozása 2 m-nél kisebb.
Tehát osszuk el a 2.7-et 2-vel, mivel a talált érték az 540, 810 és 1080 közös osztója is lesz, mivel a 2 ezeknek a számoknak a legkisebb közös prímtényezője.
Ezután az egyes darabok hossza megegyezik 1,35 m-rel (2,7: 2). Most ki kell számolnunk, hogy hány darab lesz az egyes táblákból. Ehhez a következőket tesszük:
5,40: 1,35 = 4 darab
8,10: 1,35 = 6 darab
10,80: 1,35 = 8 darab
Figyelembe véve az egyes táblák mennyiségét és összeadva a következőket:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 darab
Alternatíva: e) 420 darab
5. kérdés
(Enem - 2015) A mozi vezetője évente ingyenes jegyeket biztosít az iskolákba. Idén 400 jegyet osztanak szét egy délutáni foglalkozásra és 320 jegyet ugyanarra a filmre az esti szekcióra. Több iskola választható a jegyek fogadására. Van néhány kritérium a jegyek terjesztésére:
- minden iskolának jegyeket kell kapnia egyetlen foglalkozásra;
- minden jogosult iskolának azonos számú jegyet kell kapnia;
- nem marad maradvány (azaz az összes jegyet szétosztják).
A jegyek megszerzéséhez a megállapított kritériumok szerint választható iskolák minimális száma:
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Helyes alternatíva: c) 9.
Az iskolák minimális számának megismeréséhez tudnunk kell az egyes iskolák által kapható jegyek maximális számát, figyelembe véve, hogy ennek a számnak mindkét foglalkozáson egyenlőnek kell lennie.
Ily módon kiszámítjuk az mdc-t 400 és 320 között:
A talált mdc érték jelenti a legtöbb jegyet, amelyet az egyes iskolák kapnak, így nincs maradék.
A választható iskolák minimális számának kiszámításához el kell osztanunk az egyes foglalkozásokra szóló jegyek számát az egyes iskolák által beérkező jegyek számával, így:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Ezért az iskolák minimális száma 9 (5 + 4) lesz.
Alternatíva: c) 9.
6. kérdés
(Cefet / RJ - 2012) Mi a numerikus kifejezés értéke ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Helyes alternatíva: a) 0,2222
A numerikus kifejezés értékének megtalálásához az első lépés a nevezők közötti mmc kiszámítása. Így:
A talált mmc lesz a frakciók új nevezője.
Annak érdekében azonban, hogy ne változtassuk meg a tört értékét, meg kell szorozni az egyes számlálók értékét az mmc minden nevezővel való elosztásának eredményével:
Az összeadás és az osztás megoldása:
Alternatíva: a) 0,2222
7. kérdés
(EPCAR - 2010) A gazdálkodó babot egyenes ágyba ültet. Ehhez kezdte megjelölni azokat a helyeket, ahol a magokat elültette. Az alábbi ábra a gazda által már megjelölt pontokat és a köztük lévő távolságokat cm-ben jelöli.
Ez a gazda ezután a meglévők között más pontokat is megjelölt, így a távolságot d mindegyik között ugyanaz volt és a lehető legnagyobb. ha x a távolság számának a számát jelenti d a gazda megszerezte, tehát x -vel osztható szám
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Helyes alternatíva: d) 7.
A kérdés megoldásához találnunk kell egy számot, amely egyszerre osztja el a bemutatott számokat. Mivel a távolságot a lehető legnagyobbnak kérjük, számítsuk ki a közöttük lévő mdc-t.
Ily módon az egyes pontok közötti távolság 5 cm lesz.
Annak megállapításához, hogy hányszor ismételte meg ezt a távolságot, osszuk el az eredeti szegmenseket 5-tel, és adjuk hozzá a talált értékeket:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
A talált szám osztható 7-gyel, mivel 21,7 = 147
Alternatíva: d) 7
Lásd még: Többszörös és elválasztó
