A matematikában a halmazok a különböző objektumok összegyűjtését jelentik, a halmazokkal végrehajtott műveletek pedig: egyesülés, metszéspont és különbség.
Használja az alábbi 10 kérdést, hogy tesztelje tudását. Használja a megjegyzéseket a kétségek tisztázására.
1. kérdés
Tekintsük a készleteket
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Helyes azt mondani, hogy:
a) A B
b) A B
c) B A
d) B A
Helyes alternatíva: b) A B.
a) Rossz. Vannak B elemei, amelyek nem tartoznak az A halmazba. Ezért nem mondhatjuk, hogy A B-t tartalmaz. A helyes állítás B lenne A.
b) Helyes. Vegye figyelembe, hogy A minden eleme egyben B eleme is. Ezért azt mondhatjuk, hogy A B-ben található, A része B-nek, vagy hogy A B részhalmaza.
c) ROSSZ. Az A elemnek nincs olyan eleme, amely ne tartozna a B halmazhoz. Ezért nem mondhatjuk, hogy B nem tartalmaz A-t.
d) ROSSZ. Mivel A B részhalmaza, akkor az A és B halmaz metszéspontja maga az A halmaz: B A = A
2. kérdés
Nézze meg a következő készleteket, és jelölje meg a megfelelő alternatívát.
A = {x | x a 4 pozitív többszöröse
B = {x | x páros szám és 4 x
16}
a) 145 A
b) 26 A és B
c) 11 B
d) 12 A és B
Helyes alternatíva: d) 12 A és B
A kérdéshalmazokat képzési törvényeik képviselik. Így az A halmazt 4 pozitív többszörösei alkotják, vagyis A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}, és a B halmaz páros számokat gyűjt össze, amelyek nagyobbak vagy egyenlőek 4-vel, és kevesebbek, mint 16. Ezért B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Az alternatívákat elemezve:
a) Rossz. A 145 egy 5-ös végű szám, ezért az 5 többszöröse.
b) ROSSZ. A 26, annak ellenére, hogy páros szám, nagyobb, mint 16, és ezért nem része a B halmaznak.
c) ROSSZ. A 11 nem páros szám, hanem prímszám, vagyis csak osztható 1-gyel és önmagával.
d) Helyes. A 12 az A és B halmazokhoz tartozik, mivel 4-nek többszöröse, és páros száma nagyobb, mint 4 és kevesebb, mint 16.
3. kérdés
Mi az A = {2, 3, 5, 7, 11} halmaz kialakulásának törvénye?
a) A = {x | x szimmetrikus szám és 2 b) A = {x | x egy prímszám és 1 c) A = {x | x pozitív páratlan szám és 1 d) A = {x | x 10-nél kisebb természetes szám}
Helyes alternatíva: b) A = {x | x prímszám és 1
a) Rossz. A szimmetrikus számok, más néven ellentétek, ugyanabban a távolságban jelennek meg a számegyenesen. Például 2 és - 2 szimmetrikusak.
b) Helyes. A bemutatott halmaz prímszámokból áll, a 2 a létező legkisebb prímszám és az egyetlen, amely páros.
c) ROSSZ. Annak ellenére, hogy a legtöbb szám páratlan, a készletben található a 2-es szám, amely páros.
d) ROSSZ. Bár minden szám természetes, a halmaz tartalmazza a 11-es számot, amely nagyobb, mint 10.
4. kérdés
Az A = {x | x halmazok egyesítése prímszám és 1
a) A B = {1,2,3,5,7}
b) A B = {1,2,3,5,7}
c) A B = {1,2,3,5,7}
ad B = {1,2,3,5,7}
Helyes alternatíva: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Az A halmaz esetében = {x | x egy prímszám és 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
a) Rossz. A nem tartalmaz B-t, mivel az 1. elem nem része A-nak.
b) ROSSZ. A nem szerepel a B-ben, mivel a 2. elem nem része B-nek.
c) ROSSZ. A nem tartozik a B-hez, mivel a halmazoknak külön eleme van.
d) Helyes. A halmazok egyesítése megfelel az őket alkotó elemek összekapcsolásának, és szimbólum képviseli .
Ezért A = {2, 3, 5, 7} és B = {1, 3, 5, 7} egyesülése A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
5. kérdés
Ábrázolja az A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} és C = {-5, - 3, 1, 2 halmazokat, 3, 5} a Venn-diagramban, majd határozza meg:
a) A B
időszámításunk előtt B
c) C - A
d) B (A
Ç)
Helyes válasz:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} és
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
A halmazok elemeinek elosztása a Venn-diagramon:
A megadott halmazokkal végzett műveletek végrehajtása során a következő eredményeket kapjuk:
a) A B = {1, 6, 7}
időszámításunk előtt B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (A
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
6. kérdés
Jegyezze fel az ábra kikelt területét, és jelölje meg az alternatívát, amely azt ábrázolja.
a) C (A
B)
b) C - (A B)
c) C (A - B)
d) C (A
B)
Helyes válasz: b) C - (A B)
Ne feledje, hogy a kikelt terület olyan elemeket jelöl, amelyek nem tartoznak az A és B halmazokhoz. Ezért különbség a halmazok között, amelyet (-) jelölünk.
Mivel az A és B halmazok színe azonos, azt mondhatjuk, hogy a halmazok egyesülésének ábrázolása létezik, vagyis az A és B elemek összekapcsolása, amelyet A képvisel B.
Ezért azt mondhatjuk, hogy a kikelt terület a C különbsége az A és B egyesülésétől, vagyis C - (A B).
7. kérdés
Az egyetem előtti tanfolyamon 600 hallgató van beiratkozva elszigetelt tantárgyakba. Matematikából 300, portugál órákra 200, 150 tanuló nem jár ezekre a tantárgyakra.
Figyelembe véve a tanfolyamra beiratkozott hallgatókat (U), a matematikát (M) és a portugálul (P) tanulókat, határozzuk meg:
a) a matematika vagy a portugál hallgatók száma
b) a matematika és a portugál hallgatók száma
Helyes válasz:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) a kért hallgatók száma magában foglalja a matematika és a portugál hallgatókat is. Ezért meg kell találnunk a két halmaz egységét.
Az eredmény kiszámítható úgy, hogy kivonjuk az iskola összes tanulóinak számát azoknak a tanulóknak a számával, akik nem veszik fel ezeket a tárgyakat.
n (M P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) mivel a kért eredmény a matematikát és a portugál nyelvet tanuló hallgatóktól származik, meg kell találnunk a halmazok metszéspontját, vagyis a mindkét halmaz közös elemeit.
Kiszámíthatjuk a két halmaz metszéspontját a tantárgyakba beiratkozott hallgatók számának összeadásával Portugál és matematika, majd levonva a két tantárgyat egy időben tanuló hallgatók számát idő.
n (M P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
8. kérdés
A numerikus halmazok a következő halmazokat tartalmazzák: Naturals (ℕ), Inters (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) és Complexes (ℂ). A fent említett halmazokon jelölje meg a definíciót, amely mindegyiknek megfelel.
1. természetes számok |
A () minden számot felölel, amelyet töredékként lehet írni, egész számolóval és nevezõvel. |
| 2. egész számok | () megfelel a racionalitások irracionálisokkal való egyesülésének. |
| 3. racionális számok | () decimális, végtelen és nem periodikus számok, és nem ábrázolhatók redukálhatatlan törtekkel. |
| 4. irracionális számok | () a {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...} számlálásoknál használt számokból áll |
| 5. valós számok | () a √-n típusú gyökereket tartalmazza. |
| 6. Komplex számok | () összegyűjti a természetes számok összes elemét és ellentéteit. |
Helyes válasz: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) A racionális számok fedje le az összes, töredékként írható számot egész számolóval és nevezővel. Ez a készlet nem pontos osztásokat tartalmaz. ℚ = {x = a / b, a ∈ ℤ, b ∈ ℤ és b ≠ 0}
(5) A valós számok megfelelnek a racionalitások irracionálisokkal való egyesülésének, vagyis = ℚ ∪ I.
(4) A irracionális számok tizedes, végtelen és nem periodikus számok, és nem ábrázolhatók redukálhatatlan törtekkel. Az ebben a csoportban szereplő számok olyan műveletekből származnak, amelyek eredményét nem lehetett töredékként felírni. Például √ 2-re.
(1) A természetes számok általunk használt számok alkotják ,2 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.
(6) A komplex számok tartalmazzák a √-n típusú gyökereket, így a valós számok kiterjesztése is.
(2) A egész számok összefogják a természetes számok összes elemét és ellentéteit. Az összes kivonás, például a 7–10 megoldásához a naturálok halmazát kibővítették, így egész számok halmaza jelent meg. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
9. kérdés
(UNB-adaptálva) 200 emberből, akiket megkérdeztek a versenyző bajnokságok televízióban történő megtekintésének preferenciáiról, a következő adatokat gyűjtötték:
- A válaszadók közül 55 nem néz;
- 101 figyeli a Forma-1-et;
- 27 figyeli a Forma-1 és a Motorkerékpár versenyeket;
A megkérdezettek közül hányan nézik kizárólag a motorkerékpár-versenyeket?
a) 32
b) 44.
c) 56
d) 28
Helyes válasz: b) 44.
1. lépés: Határozza meg a versenyeket nézők teljes számát
Ehhez csak le kell vonnunk a válaszadók teljes számát azok közül, akik kijelentették, hogy nem vesznek részt a versenyversenyeken.
200 - 55 = 145 fő
2. lépés: számolja ki azok számát, akik csak motorkerékpár versenyeket néznek
74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Kivonva az x értékét a két halmaz metszéspontjából, megtudjuk a válaszadók számát, akik csak motoros gyorsasági versenyeket néznek.
71 - 27 = 44
10. kérdés
(UEL-PR) Egy adott időpontban három tévécsatorna műsorában szappanoperák voltak főműsoridőben: A szappanopera az A csatornán, B szappanopera a B csatornán és C szappanopera a C csatornán. Egy 3000 fős felmérésben megkérdezték, hogy melyik szappanoperák tetszenek nekik. Az alábbi táblázat azoknak a nézőknek a számát mutatja, akik élvezetesnek nevezték a szappanoperákat.
| Szappanoperák | A nézők száma |
| A | 1450 |
| B | 1150 |
| Ç | 900 |
| A és B | 350 |
| A és C | 400 |
| B és C | 300 |
| A, B és C | 100 |
Hány megkérdezett néző nem találja kellemesnek a három szappanoperát?
a) 300 néző.
b) 370 néző.
c) 450 néző.
d) 470 néző.
e) 500 néző.
Helyes válasz: c) 450 néző.
450 néző van, akik nem találják kellemesnek a három telenovellát.
Tudjon meg többet a következő szövegek megtekintésével:
- Halmazelmélet
- Műveletek a készletekkel
- Numerikus halmazok
- Gyakorlatok a numerikus halmazokról
