Megalapítottuk a Foglalkozása amikor egy vagy több mennyiséget kapcsolunk össze. A természeti jelenségek egy része a matematika ezen területének fejlődésének köszönhetően tanulmányozható. A funkciók tanulmányozása két részre oszlik, megvan az általános rész, amelyben a fogalmakTábornok, és a konkrét részt, ahol a egyedi esetek, például a polinomfüggvények és az exponenciális függvények.
Lásd még: Hogyan ábrázolhatunk függvényt?
Mik azok a funkciók?
A függvény olyan alkalmazás, amely kettő elemeit kapcsolja össze készletek nem üres. Tekintsünk két nem üres A és B halmazt, ahol egy függvény f viszonyul minden egyes elem A-tól csak egy B eleme
A definíció jobb megértése érdekében képzeljen el egy taxit. Minden utazáshoz, vagyis minden megtett távolsághoz külön és egyedi ár tartozik, vagyis nincs értelme annak, ha egy utazásnak két különböző ára van.
Ezt a függvényt, amely az A halmazból a B halmazba veszi az elemeket, a következő módon ábrázolhatjuk.
Vegye figyelembe, hogy az A halmaz minden eleméhez tartozik egy a
egyetlen kapcsolódó elem vele a B készletben. Most végül is gondolkodhatunk, amikor két halmaz közötti kapcsolat nem lesz függvény? Nos, amikor az A halmaz egyik eleme kapcsolatban áll két különálló B elemmel, vagy ha az A halmaznak vannak olyan elemei, amelyek nem kapcsolódnak B elemeihez. Néz:
Általánosságban elmondható, hogy egy függvényt írhatunk algebrai módon:
f: A → B
x → y
Ne feledje, hogy a függvény az A halmazból (x-szel jelölt) veszi fel az elemeket, és B-hez (y-vel). Azt is mondhatjuk, hogy a B halmaz elemei az A halmaz elemei alapján vannak megadva, így y-t képviselhetjük:
y = f(x)
Ez így hangzik: (y megegyezik x x értékével)
Tartomány, társtartomány és szerepkép
Amikor szerepünk van f, a kapcsolódó halmazok speciális neveket kapnak. Vegyünk tehát egy függvényt f amely az A halmazból a B halmaz elemeibe visz:
f: A → B
Az A halmazt hívjuk, amelytől a kapcsolatok eltérnek tartomány függvényét, és hívjuk azt a halmazt, amelyik ennek a kapcsolatnak a "nyilát" fogadja ellendomén. Ezeket a halmazokat a következőképpen jelöljük:
Df = A → domain f
CDf = B → A f
A halmaz elemeire vonatkozó elemek alkotta függvény ellentartományának részhalmazát hívjuk Kép függvényének és a következővel jelöljük:
imf → Képe f
- Példa
Vegye figyelembe az alábbi ábrán ábrázolt f: A → B függvényt, és határozza meg a tartományt, az ellendomént és a képet.
Mint mondtuk, az A = {1, 2, 3, 4} halmaz a függvény tartománya f, míg a B = {0, 2, 3, –1} halmaz ugyanazon függvény ellendomainje. Most vegye észre, hogy az olyan elemek által alkotott halmaz, amelyek befogadják a (narancssárga) nyilat, amelyet az {0, 2, –1} elemek alkotnak, a B ellendomain részhalmaza, ez a halmaz a függvény képe f, így:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
imf = {0, 2, –1}
Azt mondjuk, hogy a 0 elem kép 1 a domain, valamint a 2 ez az elemek képe 2 és 3 a domain nevét, és –1 elem kép 4 a domain. Ha többet szeretne megtudni erről a három fogalomról, olvassa el: Ddomain, társtartomány és kép.
Surjektív funkció
Egy függvény f: A → B csak akkor lesz szurjektív vagy szurjektív, és csak akkor, ha a képkészlet egybeesik az kontradomainnel, vagyis ha az contradomain minden eleme kép.
Ekkor azt mondjuk, hogy egy függvény akkor szurjektív, ha az ellendomén minden eleme nyilat fogad. Ha mélyebbre szeretne térni az ilyen típusú funkciókban, keresse fel szövegünket: Overjet funkció.
Injektív funkció
Egy függvény f: A → B akkor és csak akkor lesz injektív vagy injekciós, és csak akkor, ha a tartomány különálló elemeinek külön képei vannak az ellendomainben, vagyis hasonló képeket hoznak létre a tartomány hasonló elemei.
Ne feledje, hogy a feltétel az, hogy a tartomány különböző elemei az ellendomain különböző elemeihez kapcsolódnak, és nincs probléma az ellendomain többi elemével. A koncepció jobb megértése érdekében elolvashatja a szöveget: Injektor funkció.
Bijektor funkció
Egy függvény f: A → B csak akkor lesz bijektív, és csak akkor injektor és surjector egyszerre, vagyis a tartomány különálló elemeinek külön képei vannak, és a kép egybeesik az ellentartománnyal.
- Példa
Mindegyik esetben igazolja, hogy az f (x) = x függvény2 injektor, surjector vagy bijector.
A) f: ℝ+ → ℝ
Ne feledje, hogy a függvény tartománya mind pozitív valós, az ellendomén pedig valós számok. Tudjuk, hogy az f függvényt f (x) = x adja meg2, most képzelje el az összes pozitív valós számot magas négyzetre állítva, minden kép pozitív is lesz. Tehát arra a következtetésre juthatunk, hogy a függvény injektáló és nem szurjektív, mivel a negatív valós számok nem kapnak nyilakat.
Injektál, mivel a tartomány minden eleme (ℝ+) az ellendomain (ℝ) egyetlen elemére vonatkozik.
B) f: ℝ → ℝ+
A függvénynek ebben az esetben a tartománya, mint az összes valós, az ellendomain pedig a pozitív valós. Tudjuk, hogy bármelyik valós négyzet pozitív, tehát az ellendomain minden eleme kapott nyilat, tehát a függvény surjektív. Nem fog injekciózni, mert a tartományelemek két ellendomén elemhez kapcsolódnak, például:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
Ebben a példában a függvénynek domainje és ellendomainje van, mint pozitív valós szám, tehát a függvény bijector, mert minden pozitív valós szám egyetlenre vonatkozik valós szám pozitív az ellentartomány, ebben az esetben a szám négyzete. Ezenkívül az összes doménszám nyilat kapott.
összetett funkció
A összetett funkció társul a parancsikon ötlet. Tekintsünk három nem üres A, B és C halmazt. Figyeljünk két f és g függvényre is, ahol az f függvény az A halmazból az x elemeket a B halmazból az y = f (x) elemekre, a g függvény pedig az Y = f (x) elemeket a C halmazból z elemekre viszi.
Az összetett függvény azért kapja ezt a nevet, mert ez egy olyan alkalmazás, amely az A halmaz elemeit közvetlenül a C halmaz elemeibe viszi, anélkül, hogy átmenne a B halmazon, az f és g függvények összetételén keresztül. Néz:
Az (f o g) -vel jelölt függvény az A halmaz elemeit közvetlenül C halmazba viszi. Összetett függvénynek nevezzük.
- Példa
Tekintsük az f (x) = x függvényt2 és a g (x) = x + 1 függvény. Keresse meg az (f o g) (x) és (g o f) (x) összetett függvényeket.
Az f o g függvényt az f-re alkalmazott g függvény adja meg, vagyis:
(f o g) (x) = f (g (x))
Ennek az összetett függvénynek a meghatározásához figyelembe kell vennünk a függvényt f, és az x változó helyett meg kell írnunk a függvényt g. Néz:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Hasonlóképpen, az összetett függvény (g o f) (x) meghatározásához alkalmaznunk kell a függvényt f szerepben g, vagyis vegye figyelembe a g függvényt, és írja be az f függvényt a változó helyére. Néz:
(x + 1)
x2 + 1
Ezért az összetett függvény (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Páros funkció
Tekintsünk egy függvényt f: A → ℝ, ahol A a nem üres valóságok részhalmaza. Az f függvény csak az összes valós x esetén lesz egyenletes.
Példa
Tekintsük a függvényt f: ℝ → ℝ, amelyet f (x) = x ad meg2.
Vegye figyelembe, hogy bármely valós x érték esetén, ha négyzetes, az eredmény mindig pozitív, azaz:
f (x) = x2
és
f (–x) = (–x)2 = x2
Tehát f (x) = f (–x) bármely valós x értékre, tehát a függvény f ez pár.
Olvassa el:Teljesítmény tulajdonságoks - mik ezek és hogyan nál nél használatlevegő?
egyedi funkció
Tekintsünk egy függvényt f: A → ℝ, ahol A a nem üres valóságok részhalmaza. Az f függvény csak az összes valós x esetében lesz páratlan.
- Példa
Tekintsük a függvényt f: ℝ → ℝ, amelyet f (x) = x ad meg3.
Lásd, hogy az x bármelyik értékéhez írhatjuk ((x)3 = -x3. Nézzen meg néhány példát:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Tehát azt mondhatjuk, hogy:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Tehát bármely valós x esetén f (–x) = –f (x), így az f (x) = x függvény3 egyedi.
növekvő funkció
Egy függvény f é növekvő időközönként csak akkor, ha a domain elemek növekedésével a képeik is növekednek. Néz:
Vegye figyelembe, hogy x1 > x2 és ugyanez történik a képpel is, így algebrai feltételt hozhatunk létre a függvény számára f lenni növekvő.
Csökkenő függvény
Egy függvény f é csökkenő időközönként csak akkor, ha a domain elemek növekedésével a képeik csökkennek. Néz:
Lásd, hogy a függvény tartományban megvan az x1 > x2azonban ez nem fordul elő a függvényképben, ahol f (x1)
állandó funkció
Ahogy a neve mondja, a funkció az állandó amikor bármilyen értékre tartományban, a kép értéke mindig ugyanaz.
kapcsolódó funkció
A affin funkció vagy első fokú polinom a következő formában van megírva:
f (x) = ax + b
Ahol a és b valós számok, az a nem nulla, és a grafikon egy vonal. A függvénynek valódi tartománya és valódi ellendomainje is van.
másodfokú függvény
A másodfokú függvény vagy a második fok polinomfüggvényét az adja a polinom a második osztályból, így:
f (x) = ax2 + bx + c
Ahol a, b és c valós számok nem nullával, és a grafikonod a példázat. A szerepnek valódi és ellendoménje is van.
moduláris funkció
A moduláris funkció val vel x változó talál-ha a modul belsejében és algebrailag ezt fejezi ki:
f (x) = | x |
A függvénynek van valós tartománya és számlálótartománya is, vagyis bármely valós szám abszolút értékét kiszámíthatjuk.
exponenciális függvény
A exponenciális függvénymegjeleníti az x változót a kitevőben. Valódi tartománya és valódi ellendomainje is van, és algebrailag írja le:
f (x) = ax
Ahol a nullánál nagyobb valós szám.
logaritmikus függvény
A logaritmikus függvény rendelkezik a változó logaritmusban és a nullánál nagyobb valós számok által alkotott tartomány.
Trigonometrikus függvények
Nál nél trigonometrikus függvények megvan a trigonometrikus arányokat tartalmazó x változó, a legfontosabbak:
f (x) = bűn (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
gyökfüggvény
A gyökérfunkcióra az jellemző, hogy a gyökér belsejében változó, ezzel, ha a gyök indexe páros, akkor a függvény tartománya csak a pozitív valós szám lesz.
írta Robson Luiz
Matematikatanár