A lineáris rendszert háromféleképpen osztályozhatjuk:
• SPD - A lehetséges rendszer meghatározva; csak egy megoldáskészlet van;
• SPI - meghatározhatatlan lehetetlen rendszer; számos megoldási készlet létezik;
• SI - lehetetlen rendszer; megoldási halmazt nem lehet meghatározni.
Sokszor azonban csak akkor vagyunk képesek osztályozni a rendszereket, ha mindegyik megoldásának utolsó részében vagyunk, vagy akár a determináns kiszámításával. Amikor azonban elvégezzük a lineáris rendszer méretezését, nagy léptekkel haladunk a megoldási halmaz megszerzése és a lineáris rendszer osztályozása felé.
Ez azért történik, mert a lineárisan skálázott rendszernek van egy gyors módja az ismeretlenek értékeinek megszerzésére, mivel minden egyes egyenletet megpróbál kisebb számú ismeretlenrel írni.
A skálázott lineáris rendszer osztályozásához csak elemezzen két elemet.
1.A rendszer utolsó skálája, amely teljesen méretezett;
2.Az ismeretlenek száma a rendszerben megadott egyenletek számához képest.
A első Ebben az esetben a következő helyzetek fordulhatnak elő:
• Első fokú egyenlet ismeretlen, a rendszer SPD lesz. Példa: 2x = 4; 3y = 12; z = 1
• Egyenlőség ismeretlenek nélkül: két lehetőség van, igazak az egyenlőségek (0 = 0; 1 = 1;…) és hamis egyenlő (1 = 0; 2 = 8). Ha valódi egyenlőségeink vannak, rendszerünket SPI-ként osztályozzuk, míg hamis egyenletek esetén a rendszerünk lehetetlen lesz (SI).
• Nulla együtthatójú egyenlet. Ebben az esetben két lehetőség is van, az egyikben a független kifejezés null, a másik pedig nem.
• Ha nullegyütthatóval és nullfüggetlen tagokkal rendelkező egyenletünk van, rendszerünket SPI-ként osztályozzuk, mert végtelen értékeink lesznek, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. 0.t = 0
Bármelyik értéket helyezzük az ismeretlen t-be, az eredmény nulla lesz, mivel a nullával szorzott bármely szám nulla. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az ismeretlen t szabad ismeretlen, mivel bármilyen értéket felfoghat, tehát bármilyen érték reprezentációját tulajdonítjuk neki, ami a matematikában egy levél segítségével történik.
• Ha a null tényezők egyenlete és a nullától eltérő független tag van, rendszerünket SI-ként osztályozzuk, mert minden t feltételezett érték esetében soha nem lesz egyenlő kívánt értéket. Lásd egy példát:
0.t = 5
Bármi legyen is a t értéke, az eredmény mindig nulla lesz, vagyis ez az egyenlet mindig formájú lesz (0 = 5), bármi legyen is az ismeretlen t értéke. Emiatt azt mondjuk, hogy az a rendszer, amelynek ilyen módon van egyenlete, megoldhatatlan, lehetetlen rendszer.
A második Ebben az esetben, amikor az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma, soha nem lesz lehetséges és meghatározott rendszerünk, csak a másik két lehetőség marad meg számunkra. Ezeket a lehetőségeket az előző témákban említett összehasonlítás elvégzésével lehet megszerezni. Nézzünk két példát, amelyek ezeket a lehetőségeket fedik le:
Vegye figyelembe, hogy egyik rendszert sem méretezték.
Ütemezzük be az első rendszert.
Az első egyenletet megszorozva és a másodikhoz hozzáadva a következő rendszert használjuk:
Az utolsó egyenletet elemezve azt látjuk, hogy ez egy lehetetlen rendszer, mivel soha nem találunk olyan értéket, amely kielégíti az egyenletet.
A második rendszer méretezése:
Az utolsó egyenletet tekintve ez egy meghatározhatatlan lehetséges rendszer.
Írta: Gabriel Alessandro de Oliveira
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificando-as-solucoes-um-sistema-linear-escalonado.htm