Haladás: mik ezek, típusok, képletek, példák

Tudjuk, hogyan progressziók egyedi esetei számsorozatok. Két progresszió van:

• számtani progresszió

• geometriai progresszió

Ahhoz, hogy progresszió legyen, elemeznünk kell a szekvencia jellemzőit, hogy van-e valaminek oka. amikor a progresszió számtan, az ok nem más, mint egy állandó, amelyet hozzáadunk egy kifejezéshez, hogy megtaláljuk az utódját a szekvenciában; most, amikor progresszióval dolgozunk geometriai, az értelem hasonló funkcióval rendelkezik, csak ebben az esetben az ok az az állandó kifejezés, amellyel szorozunk egy kifejezést a sorozatban, hogy megtaláljuk az utódját.

Következtében kiszámítható viselkedés A progressziónál vannak speciális képletek bármely kifejezés megtalálásához ezekben a szekvenciákban, és lehetséges a képlet mindegyikükhöz (vagyis egy az aritmetikai progresszióhoz és egy a geometriai progresszióhoz) az összeg kiszámításához Tól tőlnem ennek a progressziónak az első feltételei.

Olvassa el: Funkciók - mik ezek és mire szolgálnak?

A betakarított babmennyiség geometriai haladásként viselkedik

számsor

Ahhoz, hogy megértsük, melyek a progressziók, először meg kell értenünk, hogy mik azok számsorozatok. Ahogy a neve is sugallja, ismerjük az a számsort olyan sorrend, amely tiszteletben tartja a sorrendet, jól definiálva vagy sem. ellentétben a készletek numerikus számok, ahol a sorrend nem számít, numerikus sorrendben a sorrend elengedhetetlen, például:

Az (1, 2, 3, 4, 5) szekvencia eltér az (5, 4, 3, 2, 1) szekvenciától, amely különbözik az (1, 5, 4, 3, 2) szekvenciától. Még akkor is, ha az elemek megegyeznek, mivel a sorrend más, ezért különböző szekvenciáink vannak.

Példák:

Írhatunk olyan szekvenciákat, amelyeknek formációi könnyen áttekinthetők:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → 12-nél kisebb vagy egyenlő páros számok sorozata.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → páratlan számok regresszív szekvenciája 17-től 5-ig.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → néven ismert Fibonacci szekvencia.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → bár ezt a szekvenciát nem lehet leírni, mint a többit, könnyű megjósolni, mi lesz a következő kifejezés.

Más esetekben a szekvenciák teljes véletlenszerűségűek lehetnek értékeikben, különben is, hogy szekvencia legyek, az a fontos, hogy legyen egy sor rendezett érték.

1-ig; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Bármennyire sem lehet megjósolni, kik a következő betűk a b betűben, továbbra is folytatással dolgozunk.

Általánosságban, a karakterláncok mindig zárójelben vannak ábrázolva (), a következő módon:

(A₁, a₂,A₃, a₄,A₅, a₆, a₇, a₈ …) → végtelen sorrend

(A₁, a₂,A₃, a₄,A₅, a₆, a₇, a₈ … A_nem) → véges sorrend

Mindkettőben a következő ábrázolás van:

A₁ → első ciklus

A₂ → második ciklus

A₃ → harmadik ciklus

.

.

.

A_nem → n. Ciklus

Megfigyelés: Nagyon fontos, hogy egy szekvencia ábrázolásakor az adatokat zárójelbe zárjuk. A szekvencia jelölését gyakran összekeverik a halmaz jelölésével. A halmazok zárójelben vannak ábrázolva, és a halmazban a sorrend nem fontos, ami ebben az esetben minden különbséget jelent.

(1, 2, 3, 4, 5) → szekvencia

{1, 2, 3, 4, 5} → beállítva

Vannak olyan szekvencia esetek, amelyeket progressziónak nevezünk.

Lásd még: Mi a számlálás alapelve?

Mik a progressziók?

A szekvenciát progresszióként definiáljuk, amikor a rendszeresség egyik kifejezésről a másikra, okként ismert. A progressziónak két esete van, a számtani és a geometriai progresszió. Ahhoz, hogy tudjuk megkülönböztetni mindegyiket, meg kell értenünk, mi az oka a progressziónak, és hogy ez az ok hogyan lép kölcsönhatásba a szekvencia feltételeivel.

Amikor a sorrendben egyik kifejezésről a másikra a állandó összeg, ezt a szekvenciát progresszióként definiáljuk, és ebben az esetben a számtani progresszió. Ezt az értéket, amelyet folyamatosan összeadunk, aránynak nevezzük. A másik eset, vagyis amikor a szekvencia a geometriai progresszió, egyik kifejezésről a másikra van egy szorzás állandó értékkel. Hasonlóképpen ez az érték a geometriai progresszió aránya.

Példák:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → vegye észre, hogy mindig 3-at adunk az egyik tagból a másikba, tehát aritmetikai progressziója 3-val egyenlő.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → ebben az esetben mindig szorzunk 10-gyel egyik tagból a másikba, a 10 arány geometriai progressziójával foglalkozunk.

c) (0, 2, 8, 26…) → az utóbbi esetben csak egy szekvencia létezik. A következő kifejezés megtalálásához szorozzuk a kifejezést 3-mal, és adjunk hozzá 2-t. Ez az eset, annak ellenére, hogy van egy törvényszerűség a következő kifejezések megtalálásához, csak szekvencia, nem aritmetikai vagy geometriai progresszió.

számtani progresszió

Amikor számsorozatokkal dolgozunk, azok a szekvenciák, amelyekben megjósolhatjuk a következő kifejezéseiket, meglehetősen visszatérőek. Ahhoz, hogy ezt a szekvenciát a számtani progresszió, szükség van a ok a. Az első ciklustól a következő kifejezés az előző kifejezés összegével konstruálva az okkal r.

Példák:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Ez egy olyan szekvencia, amely besorolható aritmetikai progresszióba, mert az oka r = 3 és az első kifejezés 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Ez a szekvencia jó okkal számtani haladás. r = -5, és első ciklusa 7.

• A PF feltételei

Sok esetben érdekünk az, hogy a progresszióban találjunk egy konkrét kifejezést, anélkül, hogy a teljes szekvenciát kellene írnunk. Az első tag értékének és arányának ismeretében meg lehet találni bármely szám értékét egy aritmetikai progresszióban. Az arimetikus progresszió feltételeinek megkereséséhez a következő képletet használjuk:

A_nem = a₁+ (n - 1) r

Példa:

Keresse meg egy P.A 25. ciklust, amelynek aránya 3, az első tagja pedig 12!

Adat r = 3, a₁ = 12. Meg akarjuk találni a 25. tagot, vagyis n = 25.

A_nem = a₁+ (n - 1) r

A₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

A₂₅ = 12 + 24 · 3

A₂₅ = 12 + 72

A₂₅ = 84

• A P.A. általános szerződési ideje

Az általános képlet a az AP kifejezés képletének egyszerűsítése hogy bármelyik progressziós kifejezést gyorsabban megtalálja. Amint az első tag és az ok megismerhető, elegendő a képletben helyettesíteni egy P. A. kifejezést, hogy megtaláljuk az aritmetikai progresszió általános tagját, amely csak a nem.

Példa:

Keresse meg a P. A. általános kifejezését r = 3 és a₁ = 2.

A_nem = 2 + (n -1) r

A_nem = 2 + (n-1) 3

A_nem = 2 + 3n - 3

A_nem = 2n - 1

Ez egy P.A. általános fogalma, amely arra szolgál, hogy bármilyen kifejezést találjon ebben a progresszióban.

• A PF feltételeinek összege

A a PF feltételeinek összege meglehetősen fáradságos lenne, ha meg kellene találni az egyes feltételeket és összeadni őket. Van egy képlet az összes összegének kiszámításához nem az aritmetikai progresszió első tagjai:

Példa:

Keresse meg az összes páratlan szám összegét 1-től 100-ig.

Tudjuk, hogy a páratlan számok a 2 arány számtani progressziója: (1, 3, 5, 7… 99). Ebben a progresszióban 50 kifejezés van, mivel 1-től 100-ig a számok fele páros, a másik fele páratlan.

Ezért nekünk:

n = 50

A₁ = 1

A_nem = 99

Hozzáférhet továbbá: 1. fokozatú funkció - a számtani progresszió gyakorlati alkalmazása

Geometriai progresszió

Egy karakterlánc szintén besorolható prhaladás geometriai (PG). Ahhoz, hogy egy szekvencia geometriai progresszió legyen, meg kell adnia az okát, de ebben az esetben az első tagból a következő tag megtalálásához a az arány szorzata az előző kifejezéssel.

Példák:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → A 2. arány geometriai progressziója és első ciklusa 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → A 10. arány geometriai progressziója, első ciklusa 20.

• A PG időtartama

Geometriai progresszióban képviseljük a levél okát mit. A geometriai progresszió kifejezés a következő képlettel található meg:

A_nem = a₁ · mit^{n - 1}

Példa:

Ennek ismeretében keresse meg a PG 10. ciklusát mit = 2 és a₁ = 5.

A_nem = a₁ · mit^{n - 1}

A₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

A₁₀ = 5 · 2⁹

A₁₀ = 5 · 512

A₁₀ = 2560

• A PG általános elnevezése

Amikor ismerjük az első tagot és annak okát, lehetséges az általános kifejezés képletének létrehozása olyan geometriai progresszióból, amely kizárólag a nem. Ehhez csak le kell cserélnünk az első tagot és az arányt, és találunk egy egyenletet, amely csak a nem.

Az előző példát használva, ahol az arány 2 és az első kifejezés 5, ennek a háziorvosnak az általános fogalma:

A_nem = a₁ · mit^{n - 1}

A_nem = 5 · 2^{n - 1}

• PG kifejezések összege

A progresszió összes feltételének hozzáadása sok munkát jelentene. Sok esetben a teljes sorozat megírása ennek az összegnek a megszerzéséhez időigényes. A számítás megkönnyítése érdekében a geometriai progressziónak van egy képlete, amely kiszámítja a összege nem első elemek egy véges PG:

Példa:

Keresse meg a háziorvos első 10 ciklusának összegét (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Vegye figyelembe, hogy ennek a PG-nek az aránya egyenlő 2-vel.

A₁ = 1

mit = 2

nem = 10

Olvassa el: Exponenciális függvény - a geometriai progresszió gyakorlati alkalmazása

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - Sajátos baktériumtenyészetet figyelnek meg néhány napig a tudósok. Egyikük ennek a populációnak a növekedését elemzi, és észrevette, hogy az első napon 100 baktérium volt; a másodikban 300 baktérium; a harmadikban 900 baktérium stb. Ezt a sorrendet elemezve elmondhatjuk, hogy:

A) a 200 ok számtani progressziója.

B) a 200 arány geometriai progressziója.

C) a 3. ok arimetikus progressziója.

D) a 3. arány geometriai progressziója.

E) szekvencia, de nem progresszió.

Felbontás

D. alternatíva

A sorrendet elemezve megkapjuk a következő kifejezéseket:

Vegye figyelembe, hogy 900/300 = 3, valamint 300/100 = 3. Ezért 3-as arányú PG-vel dolgozunk, mivel az első ciklusból hárommal szorzunk.

2. kérdés - (Enem - PPL) A futás kezdőinek a következő napi edzéstervet írták elő: az első napon 300 métert kell futni, a másodiktól pedig napi 200 métert kell növelni. A teljesítményének megszámlálásához a tornacipőjéhez erősített chip segítségével mérni fogja az edzésen megtett távolságot. Vegyük figyelembe, hogy ez a chip a memóriájában legfeljebb 9,5 km futást / sétát tárol, és az edzés elején kell elhelyezni, és az adattartalék számára rendelkezésre álló hely kimerülése után el kell dobni. Ha ez a sportoló az edzés első napjától használja a chipet, akkor ez a chip hány egymást követő napon képes tárolni a napi edzésterv futásteljesítményét?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Felbontás

B. alternatíva

A helyzetet elemezve tudjuk, hogy van egy PA okunk, amelynek oka 200 és kezdeti felmondása 300-nak felel meg.

Továbbá tudjuk, hogy az S összeg_nem = 9,5 km = 9500 méter.

Ezekkel az adatokkal keressük meg az a kifejezést_nem, amely a tárolás utolsó napján rögzített kilométerek száma.

Arra is érdemes emlékezni, hogy bármely kifejezés a_nem a következőképpen írható:

A_nem = a₁ + (n - 1)r

Tekintettel a 200n² + 400n - 19000 = 0 egyenletre, az összes kifejezést el tudjuk osztani 200-zal, egyszerűsítve az egyenletet és megállapítva: n² + 2n - 95 = 0.

Delta és Bhaskara esetében meg kell tennünk:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Tudjuk, hogy 8,75 8 napnak és néhány órának felel meg. Ebben az esetben a mérés elvégzésének napjainak száma 8.

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm