Az egyenletek megoldása mindennapi tevékenység. Intuitív módon megoldjuk az egyenleteket a mindennapi életünkben, és észre sem vesszük. A következő kérdés feltevésével: "Hány órakor keljek fel, hogy iskolába menjek, hogy ne késni?" és megkapjuk a választ, valójában csak megoldottunk egy egyenletet, ahol az ismeretlen a idő. Ezek a mindennapi kérdések mindig is felkeltették a matematikusokat az egyenletek megoldásának és módszereinek keresésében.
Baskara képlete az egyik legismertebb módszer az egyenlet megoldására. Ez egy „recept”, egy matematikai modell, amely szinte azonnal megadja a 2. fokú egyenlet gyökereit. Érdekes módon nincs annyi képlet az egyenletek megoldására, mint gondolnád. A harmadik és negyedik fokozatú egyenletek megoldása nagyon bonyolult, és vannak megoldási képletek az ilyen típusú egyenletek legegyszerűbb eseteire.
Érdekes tudni, hogy az egyenlet mértéke határozza meg, hogy hány gyökere van. Tudjuk, hogy a 2. fokú egyenletnek két gyökere van. Ezért egy 3. fokú egyenletnek három gyöke lesz, és így tovább. Most nézzük meg, mi történik egyes egyenletekkel.
Példa. Oldja meg az egyenleteket:
a) x2 + 3x - 4 = 0
Megoldás: Baskara képletét alkalmazva egy 2. fokú egyenlet megoldására a következőket kapjuk:
Tudjuk, hogy a = 1, b = 3 és c = - 4. Így,
Mivel megoldunk egy 2. fokú egyenletet, két gyökerünk van.
b) x3 – 8 = 0
Megoldás: Ebben az esetben hiányos harmadik fokú egyenletünk van, egyszerű felbontással. 
Megoldás: Ebben az esetben van egy hiányos 4. fokú egyenletünk, amelyet két négyzet egyenletnek is nevezünk. Az ilyen típusú egyenlet megoldása szintén egyszerű. Néz:
az x egyenlet4 + 3x2 - 4 = 0 az alábbiak szerint írható át:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
x-et csinál2 = t és a fenti egyenletben helyettesítve kapjuk:
t2 + 3t - 4 = 0 → ami egy 2. fokú egyenlet.
Ezt az egyenletet Baskara képletével oldhatjuk meg.
Ezek az értékek nem az egyenlet gyökerei, mivel az ismeretlen x és nem t. De nekünk:
x2 = t
Azután,
x2 = 1 vagy x2 = – 4
az x2 = 1, megkapjuk, hogy x = 1 vagy x = - 1.
az x2 = - 4, azt kapjuk, hogy nincsenek valós számok, amelyek kielégítik az egyenletet.
Ezért S = {- 1, 1}
Vegye figyelembe, hogy alternatív megoldásként A 2. fokú egyenletünk volt, és két gyökeret találtunk. Másodlagosan B megoldunk egy 3. fokú egyenletet, és csak egy gyököt találunk. És az elemegyenlet ç, ez egy 4. fokú egyenlet volt, és csak két gyökeret találtunk.
Mint korábban elmondtuk, az egyenlet mértéke határozza meg, hogy hány gyökere van:
2. fokozat → két gyökér
3. fokozat → három gyökér
4. fokozat → négy gyökér
De mi történt az alternatív egyenletekkel B és ç?
Kiderült, hogy az n ≥ 2 fokú egyenletnek valódi és összetett gyökerei lehetnek. A b tétel harmadik fokú egyenlete esetén csak egy valós gyököt találunk, a másik két gyök komplex szám. Ugyanez vonatkozik a c tétel egyenletére is: két valós gyököt találunk, a másik kettő összetett.
A bonyolult gyökerekről a következő tétel áll rendelkezésünkre.
Ha az a + bi, b ≠ 0 komplex szám az a egyenlet gyökere0xnem + a1xn-1+... + an-1x + anem = 0, a valós együtthatók, tehát a konjugátum, a - bi, szintén az egyenlet gyökere.
A tétel következményei:
• Valódi együtthatókkal rendelkező 2. fokú egyenlet → csak valódi gyökerei vagy két konjugált komplex gyöke van.
• Valódi együtthatókkal rendelkező 3. fokú egyenlet → csak valódi gyökerei vannak, vagy egy valódi gyökere és két konjugált komplex gyöke van.
• A 4. fokozat valódi együtthatókkal való egyenlete → csak valódi gyökerekkel vagy két komplex konjugált gyökérrel rendelkezik, és két valódi vagy csak négy komplex konjugált gyökérrel rendelkezik, kettő-kettő.
• Valódi együtthatókkal rendelkező 5. fokú egyenlet → csak valódi gyökerei vannak, vagy két összetett gyökere van konjugált és a másik valódi vagy legalább egy valódi gyök és a többi komplex gyökér, kettő-kettő konjugált.
Ugyanez vonatkozik az 5-nél nagyobb fokú egyenletekre is.
Írta: Marcelo Rigonatto
Statisztikai és matematikai modellezési szakember
Brazil iskolai csapat
Komplex számok - Math - Brazil iskola
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
