Za razliku od geometrijskih figura koje je on oblikovao, Postići nema definiciju. To znači da je u Geometriji točka nedefinirani objekt koji se koristi u definiranju drugih objekata. Linije su, na primjer, skupovi točaka. Iako izgledaju dobro definirane, linije također nemaju definiciju, jer se bilo koji skup koji sadrži dvije ili više točaka smatra ravnim.
S druge strane, u Analitičkoj geometriji, točka se uzima kao mjesto. Bilo koje mjesto može biti predstavljeno točkom, a osim toga, „adresa“ te točke daje se pomoću koordinata.
Međutim, u analitičkoj geometriji točke mogu označavati samo mjesta. Ostali objekti potrebni su za označavanje putanje, smjera, smjera i intenziteta. U slučaju ove posljednje tri, objekt koji je odabran da ih predstavlja u kartezijanskoj ravni je vektor.
→ Što je vektor?
Vektori, dakle, objekti koji ukazuju na smjer, smisao i intenzitet. Obično su predstavljeni strelicama koje počinju od ishodišta, a koriste se koordinate njihove posljednje točke.
Na gornjoj slici vektori su predstavljeni na ovaj način, odnosno strelice čije koordinate odgovaraju njihovoj konačnoj točki. Vektor u ima koordinate (2,2), a vektor v ima koordinate (4,2). Također, strelica služi za označavanje smjera i smjera, a njegova veličina pokazuje intenzitet.
→ Množenje vektora brojem
S obzirom na vektor v = (a, b), umnožak realnog broja k s v daje se izrazom:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Drugim riječima, da biste stvarni broj pomnožili s vektorom, morate pomnožiti stvarni broj sa svakom od njegovih koordinata.
Geometrijski, množenjem vektora sa stvarnim brojem linearno se povećava veličina vektora:
Imajte na umu da u gornjem primjeru vektor u ima koordinate (2.2), a vektor u · k ima koordinate (4.4). Rješavajući jednadžbu (4.4) = k (2.2), možemo zaključiti da je k = 2.
→ Dodavanje vektora
S obzirom na dva vektora u = (a, b) i v = (c, d), zbroj između njih dobit će se izrazom:
u + v = (a + c, b + d)
Drugim riječima, samo zbrojite odgovarajuće koordinate svakog vektora. Ova se operacija može proširiti zbrojem 3 ili više vektora s 3 ili više dimenzija.
Geometrijski, počevši od krajnje točke vektora u, povlači se vektor v 'paralelno s vektorom v. Polazeći od vektora v, povlači se vektor u 'paralelno s vektorom u. Ova četiri vektora tvore paralelogram. Vektor u + v je sljedeća dijagonala ovog paralelograma:
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Da biste oduzeli vektore, uzmite u obzir oduzimanje kao zbroj jednog i suprotnog vektora. Na primjer, da biste oduzeli vektor v od vektora u, napišite: u - v = u + (-v). -V vektor je v vektor, ali s obrnutim predznacima koordinata.
Pomno gledajući, operacije "množenje vektora brojem" i "dodavanje vektora" koristiti operacije množenja i zbrajanja na stvarnim brojevima, ali na svakoj komponenti vektor. Stoga za vektore vrijede sva svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva, i to:
S obzirom na vektore u, v i w i stvarne brojeve k i l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) postoji vektor 0 = (0.0) takav da je v + 0 = v
iv) Postoji vektor -v takav da je v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard vektora
Norma vektora ekvivalent je veličini realnog broja, odnosno udaljenosti između vektora i točke (0,0) ili, ovisno o referentnom okviru, duljine vektora.
Norma vektora v = (a, b) označava se sa || v || a može se izračunati pomoću izraza:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Interni proizvod
Unutarnji proizvod usporediv je s proizvodom između vektora. Imajte na umu da je gore spomenuti proizvod umnožak između vektora i realnog broja. Sada je predmetni "proizvod" između dva vektora. Međutim, ne treba reći "proizvod između dva vektora", već "unutarnji proizvod između dva vektora". Unutarnji produkt između vektora v = (a, b) i u = (c, d) označen je sa
Također je uobičajeno koristiti sljedeće oznake:
Imajte na umu da pomoću norme vektora v = (a, b) možemo povezati normu i točkasti proizvod.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
