THE inverzna funkcija, kao što i samo ime govori, je funkcija f (x)-1, koji radi točno obrnuto od funkcije f (x). Da bi funkcija podržala inverzni, to mora biti bijektor, odnosno injektor i surjektor istovremeno. Zakon tvorbe inverzne funkcije čini suprotno od onoga što radi funkcija f (x).
Na primjer, ako funkcija uzima vrijednost iz domena i dodaje 2, inverzna funkcija, umjesto da zbraja, oduzima 2. naći zakon inverzne funkcije nije uvijek lak zadatak, jer je potrebno obrnuti nepoznanice x i y, kao i izolirati y u novoj jednadžbi.
Pročitajte i vi:Funkcija - sve što trebate znati za svladavanje predmeta
Kada funkcija podržava inverzno?
Uloga je obrnuti, odnosno ima inverznu funkciju, ako i samo ako jest bijektor. Važno je zapamtiti što a bijektor funkcija, što je funkcija injektor, to jest, svaki element slike ima dopisnika jedne domene. To znači da različiti elementi u skupu A moraju biti povezani s različitim elementima u skupa B, to jest ne mogu postojati dva ili više elemenata skupa A koji imaju isti koji odgovaraju u skup B.
Uloga je surjektivni ako je slika jednaka kontradomeni, to jest, nema elementa u skupu B koji nema element u skupu A povezan s njim.
Neka je funkcija f: A → B, gdje je A domena, a B protudomena, inverzna funkcija f bit će funkcija opisana f-1 : B → A, odnosno domena i protudomena su obrnuti.
Primjer:
Funkcija f: A → B je bijektivna, budući da je injektivna (uostalom, različiti elementi u A povezani su s različitih elemenata u B), a također je i surjektivno, jer u skupu B nije ostao element, tj. protudomena je jednaka postavljen Slika.
Stoga je ova funkcija obrnuta, a inverzna je:
Kako se određuje zakon stvaranja inverzne funkcije?
Trebamo pronaći zakon inverzne funkcije formiranja preokrenuti nepoznanice, odnosno zamjenjujući x s y i y s x, a zatim izolirajući nepoznati y. Za to je važno da je funkcija invertibilna, odnosno bijektor.
→ Primjer 1
Naći zakon tvorbe inverzne funkcije f (x) = x + 5.
Rješenje:
Znamo da je f (x) = y, pa je y = x + 5. Izvodeći inverziju x i y, naći ćemo sljedeće jednadžba:
x = y + 5
A sada, izolirajmo y:
- 5 + x = y
y = x - 5
Jasno je da ako f (x) doda vrijednost 5 vrijednosti x, tada je njegov inverzni f (x) - 1 učinit će obrnuto, to jest x minus 5.
→ Primjer 2
S obzirom na funkciju čiji je zakon tvorbe f (x) = 2x - 3, koji će biti zakon tvorbe njegovog inverznog?
→ Primjer 3
Izračunaj zakon tvorbe inverzne funkcije y = 2x.
Rješenje:
y = 2x
Promjena x za y:
x = 2g
prijavljivanje logaritam na obje strane:
zapisnik2x = zapisnik22g
zapisnik2x = ylog22
zapisnik2x = y · 1
zapisnik2x = y
y = log2x
Pročitajte i vi: Razlike između funkcije i jednadžbe
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Graf inverzne funkcije
Grafikon inverzne funkcije f -1 uvijek će biti simetričan grafu funkcije f u odnosu na pravac y = x, što omogućuje analizu ponašanja tih funkcije, iako u nekim slučajevima ne možemo opisati zakon inverzne tvorbe funkcije, zbog njegovih složenost.
Pročitajte i vi: Kako grafički prikazati funkciju?
riješene vježbe
1) Ako f-1 je inverzna funkcija f, koja ide od R do R, čiji je zakon tvorbe f (x) = 2x - 10, numerička vrijednost f -1(2) é:
do 1
b) 3
c) 6
d) -4
e) -6
Razlučivost:
→ 1. korak: pronađite obrnutu vrijednost f.
→ 2. korak: zamijenite 2 umjesto x u f -1(x).
Alternativa C.
2) Neka je f: A → B funkcija čiji je formacijski zakon f (x) = x² + 1, gdje su A {-2, -1, 0, 1, 2} i B = {1,2,5}, ispravno je reći da:
a) funkcija je obrnuta, jer je bijektor.
b) funkcija nije invertibilna, jer ne ubrizgava.
c) funkcija nije invertibilna, jer nije ni surjektivna
d) funkcija nije invertibilna, jer nije ni surjektivna ni injekcijska.
e) funkcija nije invertibilna, jer je bijektor.
Rješenje:
Da bi funkcija bila invertibilna, ona mora biti bijektivna, odnosno surjektivna i injekcijska. Prvo analizirajmo je li surjektivno.
Da bi funkcija bila surjektivna, svi elementi B moraju imati pandan u A. Da bismo to znali, izračunajmo svaku njegovu numeričku vrijednost.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Imajte na umu da svi elementi B {1,2,5} imaju odgovarajuće u A, što čini funkciju surjektivni.
Da bi se ova funkcija ubrizgavala, elementi različiti od A moraju imati različite slike u B, što se ne događa. Imajte na umu da je f (-2) = f (2) i također da je f (-1) = f (1), što čini funkciju nemojte ubrizgavati. Kako nije injektor, nije ni obrnut; stoga, alternativa b.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
