Trigonometrijski krug: što je to, primjeri, vježbe

trigonometrijska kružnica je kružnica polumjera 1 predstavljena u Kartezijanska ravnina. U njemu je vodoravna os kosinusna osa, a vertikalna os sinusna os. Može se nazvati i trigonometrijskim ciklusom.

Koristi se za proučavanje trigonometrijskih omjera. Pomoću nje je moguće bolje razumjeti glavne trigonometrijske razloge za uglovi veći od 180 °, naime: sinus, kosinus i tangenta.

Pročitajte i vi: 4 najčešće pogreške u osnovnoj trigonometriji

Korak po korak za izgradnju trigonometrijske kružnice

Da bismo konstruirali trigonometrijsku kružnicu, koristimo dvije osi, jedna okomita i jedna vodoravna, poput kartezijanske ravnine. Vodoravna os je poznata kao kosinusna os, a vertikalna os je poznata kao sinusna os.

Okomita os je sinusna, a vodoravna os kosinusna os.

Izgradnjom osi, nacrtajmo grafik kružnice koja ima polumjer 1.

Trigonometrijska kružnica koja označava mjerenje radijusa 1.

Trigonometrijski omjeri u krugu

Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)

Krug koristimo za pronalaženje vrijednosti

sinus, kosinus i tangenta, prema vrijednosti kuta. imajući u okomita os sinusna vrijednost, a na vodoravnoj osi kosinusna vrijednost, određivanjem kuta na trigonometrijskoj kružnici, moguće je pronaći vrijednost sinusa i kosinusa analizom koordinate točke u kojoj odsječak linije povezuje središte kružnice i opseg, predstavljene s P na slici a slijediti. Ako dodirujemo liniju tangente s kružnicom u točki (1.0), tangentu ovog kuta možemo izračunati i analitički prema slici:

Koordinate točke P su P (cosα, sinα).

Pročitajte i vi: Što su sekant, kosekant i kotangens?

Trigonometrijski kružni radijani

Trigonometrijski ciklus s mjerom u stupnjevima

Znamo da se luk može mjeriti pomoću dvije različite mjerne jedinice: mjera u stupnjevima i mjera u radijani. Mi to znamo opseg je 360º i da je duljina vašeg luka 2π:

Trigonometrijsko mjerenje ciklusa u radijanima

Kvadranti trigonometrijske kružnice

Bilo u radijanima ili stupnjevima, kvadrant u kojem se nalazi određeni luk moguće je definirati prema njegovom mjerenju.

Trigonometrijska kružnica s naznakom kvadranata

Analizirajući ciklus, moramo:

• prvi kvadrant: kutovi koji su između 0 do 90 ° ili 0 i π / 2 radijana;

• drugi kvadrant: kutovi koji su između 90 ° i 180 ° ili π / 2 i π radijana;

• treći kvadrant: kutovi koji su između 180 ° i 270 ° ili π i 3 π / 2 radijana;

• četvrti kvadrant: kutovi koji su između 270 ° i 360 ° ili 3π / 2 i 2π radijana.

Pročitajte i vi: Karakteristike i svojstva plana

Izvanredni kutovi u trigonometrijskoj kružnici

Na početku proučavanja trigonometrija, saznali smo da su zapaženi kutovi kutovi od 30º, 45º i 60º koji imaju vrijednost poznatog sinusa, kosinusa i tangente. Međutim, zbog simetrije trigonometrijskog ciklusa, moguće je pronaći vrijednosti sinusa i kosinusa za ove kutove i simetrične kutove njemu u svakom kvadrantu.

Vrijednosti sinusa i kosinusa za glavne kutove trigonometrije

Trigonometrijski kružni znakovi

Da bismo razumjeli koji je znak svakog od trigonometrijskih omjera u ciklusu, dovoljno je analizirati vrijednosti osi u kartezijanskoj ravnini.

Krenimo od kosinusa. Budući da je riječ o vodoravnoj osi, kosinus kutova uključen s desne strane okomite osi je pozitivan, a kosinus kutova s ​​lijeve strane okomite osi negativan.

Kosinus je pozitivan u 1. i 4. kvadrantu, a negativan u 2. i 3. kvadrantu.

Sada, da biste razumjeli sinusni znak kuta, samo upamtite da je vertikalna os sinusna os, pa je sinus kuta koji je iznad vodoravne osi pozitivan; ali ako je kut ispod vodoravne osi, sinus ovog kuta je negativan, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Sinus je pozitivan u 1. i 2. kvadrantu, a negativan u 3. i 4. kvadrantu.

Mi to znamo tangenta je omjer između sinusa i kosinusa, zatim, da bismo pronašli znak tangente za svaki od kvadranata, igramo igru ​​znakova, što tangentu čini pozitivnim u neparnim kvadrantima i negativnim u parnim kvadrantima:

Tangenta je pozitivna u 1. i 4. kvadrantu, a negativna u 2. i 3. kvadrantu.

Pročitajte i vi: Što su polupravi, poluravan i poluprostor?

simetrija u krugu

Analizirajući trigonometrijski ciklus, moguće je konstruirati način smanjenja sinusa, kosinusa i tangente na prvi kvadrant. Ovo smanjenje znači pronaći u prvom kvadrantu kut koji je simetričan kutu ostalih kvadranata, jer, kada radimo sa simetričnim kutom, vrijednost trigonometrijskih omjera je ista, mijenjajući samo njegovu signal.

• Smanjenje kuta koji je u 2. kvadrantu na 1. kvadrant

Počevši od kutova koji su u 2. kvadrantu, moramo:

Kao što znamo, u 1. i 2. kvadrantu sinus je pozitivan. Dakle, za izračunavanje smanjenja sinusa iz 2. kvadranta u 1. kvadrant koristimo formulu:

grijeh x = grijeh (180º - x)

Kosinus i tangenta u 2. kvadrantu su negativni. Da bismo kosinus smanjili iz 2. kvadranta u 1. kvadrant, koristimo formulu:

cosx = - cos (180º - x)

tg x = - tg (180º - x)

Primjer:

Kolika je vrijednost sinusa i kosinusa kuta od 120 °?

Kut od 120 ° kvadratni je drugi kut jer je između 90 ° i 180 °. Da bismo smanjili ovaj kut na 1. kvadrant, izračunavamo:

grijeh 120 ° = grijeh (180 ° - 120 °)

grijeh 120º = grijeh 60º

Kut od 60 ° je izuzetan kut, pa je njegova sinusna vrijednost poznata, pa:

Sada izračunajmo vaš kosinus:

cos 120º = - cos (180 - 120)

cos 120º = - cos 60º

Kao što znamo kosinus od 60º, moramo:

• Smanjenje kuta koji je u 3. kvadrantu na 1. kvadrant

Kao i u 2. kvadrantu, postoji simetrija između kutova u 3. kvadrantu i kutova u 1. kvadrantu.

Sinus i kosinus u trećem kvadrantu su negativni. Dakle, da reduciramo sinus i kosinus iz 3. kvadranta u 1. kvadrant, koristimo formulu:

sin x = - sin (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180º)

Tangenta u 3. kvadrantu je pozitivna. Da bismo ga smanjili, koristimo formulu:

tg x = tg (x - 180º)

Primjer:

Izračunajte sinus, kosinus i tangentu od 225º.

grijeh 225º = - grijeh (225º - 180º)

grijeh 225º = - grijeh 45º

Kako je 45º izvanredan kut, prilikom pregledavanja stola moramo:

Sada, izračunavajući kosinus, moramo:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Znamo da je tg45º = 1, pa:

tg 225º = 1

• Smanjenje kuta koji je u 4. kvadrantu na 1. kvadrant

S istim obrazloženjem kao i prethodna smanjenja, postoji simetrija između 4. i 1. kvadranta:

Vrijednosti sinusa i tangente u 4. kvadrantu su negativne. Dakle, da bismo izvršili smanjenje s 4. na 1. kvadrant, koristimo formulu:

sin x = - sin (360º - x)

tg x = - tg (360º - x)

Kosinus u 4. kvadrantu je pozitivan. Dakle, da bismo sveli na 1. kvadrant, formula je:

cos x = cos (360º - x)

Primjer:

Izračunajte vrijednost sinusa i kosinusa od 330º.

Počevši od sinusa:

Sada izračunavamo kosinus:

Pročitajte i vi: Kako izračunati udaljenost između dvije točke u prostoru?

Vježbe riješene trigonometrijskim krugom

Pitanje 1 - Tijekom proučavanja kružnog trenutka, fizičar je analizirao objekt koji se okretao oko sebe, tvoreći kut od 15.240º. Analizirajući ovaj kut, luk koji on tvori nalazi se u:

A) kvadrant I.

B) kvadrant II.

C) kvadrant III.

D) kvadrant IV.

E) na vrhu jedne od osi.

Razlučivost

Alternativa B.

Znamo da je svaki objekt od 360 ° zaokružio krug oko sebe. Prilikom izvođenja podjela od 15.240 puta 360, otkrit ćemo koliko je potpunih zavoja ovaj objekt napravio oko sebe, ali naš glavni interes je ostalo, što predstavlja kut pod kojim se zaustavio.

15.240: 360 = 42,333…

Rezultat pokazuje da je napravio 42 okreta oko sebe, ali 360 · 42 = 15,120, pa je ostavio kut od:

15.240 – 15.120 = 120º

Znamo da je 120 ° kvadratni drugi kut.

Pitanje 2 - Molimo prosudite sljedeće izjave:

I → Pri izračunu tg 140º, vrijednost će biti negativna.

II → Kut od 200 ° je kut 2. kvadranta.

III → Sen 130º = sin 50º.

Označite ispravnu alternativu:

A) Samo sam ja lažan.

B) Samo je II lažno.

C) Samo je III lažno.

D) Sve su istinite.

Razlučivost

Alternativa B.

I → Tačno, budući da kut od 140º pripada 2. kvadrantu, u kojem je tangenta uvijek negativna.

II → Netačno, jer je kut od 200º kut 3. kvadranta.

III → Tačno, jer da biste smanjili kut iz 2. u 1. kvadrant, samo izračunajte razliku od 180 ° - x, a zatim:

grijeh 130 ° = grijeh (180 ° - 130 °)

grijeh 130. = grijeh 50-ti

Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike