THE modularna jednadžba je a jednadžba da, u prvom ili drugom članu, ima izraze u modulu. Modul, poznat i kao apsolutna vrijednost, povezan je s udaljenošću koju broj ima na nuli. Budući da govorimo o udaljenosti, modul broja je uvijek pozitivan. Rješavanje problema modularne jednadžbe zahtijeva primjenu definicije modula, obično jednadžbu dijelimo na dva moguća slučaja:
kada je ono što je unutar modula pozitivno i
kada je ono što je unutar modula negativno.
Pročitajte i vi: Koja je razlika između funkcije i jednadžbe?
jedan modul stvarnog broja
Da bismo mogli riješiti probleme modularne jednadžbe, potrebno je zapamtiti definiciju modula. Modul je uvijek isti kao udaljenost koju broj mora imati nulu, i da predstavlja modul broja Ne, koristimo ravnu traku kako slijedi: |Ne|. Za izračun |Ne|, podijelili smo u dva slučaja:
Stoga možemo reći da |Ne| je isto što i vlastiti Ne kada je to pozitivan broj ili jednak nuli, a, u drugom slučaju, |Ne| jednak je suprotnosti od Ne ako je negativan. Imajte na umu da je suprotnost negativnom broju uvijek pozitivna, pa je |
Ne| uvijek ima rezultat jednak pozitivnom broju.Primjeri:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Pogledajte i: Kako riješiti logaritamsku jednadžbu?
Kako riješiti modularnu jednadžbu?
Da bi se pronašlo rješenje modularne jednadžbe, potrebno je analizirati svaku od mogućnosti, odnosno podijeliti, uvijek u dva slučaja, svaki od modula. Uz poznavanje definicije modula, za rješavanje modularnih jednadžbi, bitno je znati riješiti polinomne jednadžbe.
Primjer 1:
| x - 3 | = 5
Da bismo pronašli rješenje za ovu jednadžbu, važno je zapamtiti da postoje dva moguća ishoda koja | čineNe| = 5, to su oni, Ne = -5, jer | -5 | = 5, a također Ne = 5, jer | 5 | = 5. Dakle, koristeći ovu istu ideju, moramo:
I → x - 3 = 5 ili
II → x - 3 = -5
Rješavanje jedne od jednadžbi odvojeno:
Rezolucija I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Rezolucija II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Dakle, postoje dva rješenja: S = {-2, 8}.
Imajte na umu da ako je x = 8, jednadžba je istinita jer:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Također imajte na umu da ako je x = -2, jednadžba je također istinita:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Primjer 2:
| 2x + 3 | = 5
Kao u primjeru 1, da bi se pronašlo rješenje, potrebno ga je podijeliti u dva slučaja, prema definiciji modula.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Rezolucija I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Rezolucija II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Onda postavljen rješenja je: S = {1, -4}.
Primjer 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Kada imamo jednakost dvaju modula, moramo je podijeliti na dva slučaja:
1. padež, prvi i drugi član istog znaka.
2. padež, prvi i drugi član suprotnih znakova.
Rezolucija I:
Napravit ćemo dvije strane veće od nule, odnosno jednostavno ćemo ukloniti modul. Možemo raditi i s oba negativa, ali rezultat će biti jednak.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Rezolucija II:
Strane suprotnih znakova. Odabrat ćemo jednu stranu koja će biti pozitivna, a drugu stranu negativna.
Odabir:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Dakle, moramo:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Dakle, skup rješenja je: S = {4, -2/3}.
Također pristupite: Što su iracionalne jednadžbe?
riješene vježbe
Pitanje 1 - (UFJF) Broj negativnih rješenja modularne jednadžbe | 5x - 6 | = x² je:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Razlučivost
Alternativa E
Želimo riješiti modularnu jednadžbu:
| 5x - 6 | = x²
Dakle, podijelimo to na dva slučaja:
Rezolucija I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Dakle, moramo:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Zapamtite da nam vrijednost delta govori koliko rješenja ima kvadratna jednadžba:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Budući da je 1 pozitivno, tada u ovom slučaju postoje dva stvarna rješenja.
Rezolucija II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Budući da je Δ i u ovom slučaju pozitivan, tada postoje dva stvarna rješenja, pa je zbroj stvarnih rješenja 4.
Pitanje 2 - (PUC SP) Skup rješenja jednadžbe | 2x - 1 | = x - 1 je:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Razlučivost
Alternativa A
Rezolucija I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Dakle, moramo:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Rezolucija II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm