Vektor je prikaz koji određuje veličinu, smjer i smjer vektorske veličine. Vektori su ravni segmenti orijentirani strelicom na jednom kraju.
Vektore imenujemo slovom i malom strelicom.
Vektori karakteriziraju vektorske veličine, a to su veličine kojima je potrebna orijentacija, odnosno smjer i smjer. Neki primjeri su: sila, brzina, ubrzanje i pomak. Brojčana vrijednost nije dovoljna, potrebno je opisati gdje te veličine djeluju.
modul vektora
Modul vektora ili intenzitet je njegova brojčana vrijednost, nakon čega slijedi jedinica mjere veličine koju predstavlja, na primjer:
Označavamo modul između traka držeći strelicu ili, samo slovo, bez crtica i bez strelice.
Duljina vektora proporcionalna je modulu. Veći vektor predstavlja veći modul.
vektorski modul je 4 jedinice, dok je vektor
je 2 jedinice.
Smjer vektora
Smjer vektora je nagib linije oslonca na kojoj je određen. Za svaki vektor postoji samo jedan smjer.
osjećaj vektora
Smjer vektora prikazan je strelicom. Isti smjer može sadržavati dva smjera, kao što su gore ili dolje i lijevo ili desno.
Usvajajući smjer kao pozitivan, suprotni smjer, negativan, predstavlja se znakom minus ispred vektorskog simbola.
Rezultirajući vektor
Rezultirajući vektor rezultat je vektorskih operacija i ekvivalentan je skupu vektora. Zgodno je znati vektor koji predstavlja učinak koji proizvodi više od jednog vektora.
Na primjer, tijelo može biti podvrgnuto skupu sila i želimo znati kakav će rezultat, sve zajedno, proizvesti na ovom tijelu. Svaka sila je predstavljena vektorom, ali rezultat se može predstaviti samo jednim vektorom: rezultantnim vektorom.
Rezultirajući vektor, , horizontalnog smjera i smjera udesno, rezultat je zbrajanja i oduzimanja vektora.
,
,
i
. Rezultirajući vektor pokazuje tendenciju kretanja tijela u ovoj orijentaciji.
Vektori s okomitim smjerom imaju istu veličinu, odnosno isti modul. Kako imaju suprotna značenja, međusobno se poništavaju. To pokazuje da neće biti pomicanja sanduka u okomitom smjeru.
Pri analizi vektora i
, koje imaju isti smjer i suprotne smjerove, shvaćamo da dio sile "ostaje" udesno, kao vektor
je veći od
, odnosno modul od
veći je.
Da bismo odredili rezultirajući vektor, izvodimo operacije zbrajanja i oduzimanja vektora.
Zbrajanje i oduzimanje vektora istog smjera
S jednaka osjetila, dodajemo module i zadržavamo smjer i smjer.
Primjer:
Grafički postavljamo vektore u nizu, bez promjene njihovih modula. Početak jednog mora se podudarati s krajem drugog.
Komutativno svojstvo zbrajanja vrijedi, jer redoslijed ne mijenja rezultat.
S suprotna osjetila, oduzimamo module i zadržavamo smjer. Smjer rezultirajućeg vektora je onaj vektora s najvećim modulom.
Primjer:
vektor je preostali dio
, nakon povlačenja
.
Oduzimanje jednog vektora jednako je zbrajanju s suprotnim od drugog.
Zbrajanje i oduzimanje okomitih vektora
Da bismo zbrali dva vektora s okomitim smjerovima, vektore pomičemo ne mijenjajući njihov modul, tako da se početak jednog poklapa s krajem drugog.
Rezultirajući vektor povezuje početak prvog s krajem drugog.
Da bismo odredili veličinu rezultirajućeg vektora između dva okomita vektora, uskladimo početak dvaju vektora.
Modul rezultirajućeg vektora određen je Pitagorinim teoremom.
Zbrajanje i oduzimanje kosih vektora
Dva vektora su kosa kada tvore kut između svojih smjerova koji nije 0°, 90° i 180°. Za dodavanje ili oduzimanje kosih vektora koriste se metode paralelograma i poligonalne linije.
metoda paralelograma
Da bismo izvršili metodu ili pravilo paralelograma između dva vektora i nacrtali rezultirajući vektor, slijedimo ove korake:
Prvi je korak postaviti njihovo ishodište u istu točku i povući linije paralelne s vektorima kako bi se formirao paralelogram.
Drugi je da nacrtate dijagonalni vektor na paralelogramu, između unije vektora i unije paralelnih pravaca.
Isprekidane linije su paralelne s vektorima, a formirani geometrijski lik je paralelogram.
Rezultirajući vektor je pravac koji povezuje ishodište vektora s paralelama.
O modula rezultirajućeg vektora dobiva se kosinusnim zakonom.
Gdje:
R je veličina rezultirajućeg vektora;
a je vektorski modul ;
b je modul vektora ;
je kut formiran između smjerova vektora.
Paralelogramska metoda se koristi za dodavanje para vektora. Ako želite dodati više od dva vektora, morate ih dodati dva po dva. Vektoru koji proizlazi iz zbroja prva dva, dodajemo treći i tako dalje.
Drugi način za dodavanje više od dva vektora je korištenje metode poligona.
metoda poligonalne linije
Metoda poligonalne linije koristi se za pronalaženje vektora koji nastaje dodavanjem vektora. Ova metoda je posebno korisna kada se dodaje više od dva vektora, kao što su sljedeći vektori ,
,
i
.
Da bismo koristili ovu metodu, moramo poredati vektore tako da se kraj jednog (strelica) podudara s početkom drugog. Važno je sačuvati modul, smjer i smjer.
Nakon što smo sve vektore rasporedili u obliku poligonalne linije, moramo pratiti rezultirajući vektor koji ide od početka prvog do kraja posljednjeg.
Važno je da rezultirajući vektor zatvara poligon, pri čemu se njegova strelica podudara sa strelicom u posljednjem vektoru.
Komutativno svojstvo vrijedi, budući da redoslijed kojim postavljamo plot-vektore ne mijenja rezultirajući vektor.
vektorska dekompozicija
Rastaviti vektor znači napisati komponente koje čine ovaj vektor. Ove komponente su drugi vektori.
Svaki vektor se može napisati kao sastav drugih vektora, kroz vektorski zbroj. Drugim riječima, vektor možemo napisati kao zbroj dva vektora, koje nazivamo komponentama.
Koristeći Dekartov koordinatni sustav, s okomitim x i y osi, određujemo komponente vektora.
vektor je rezultat zbroja vektora između komponentnih vektora.
i
.
vektor nagib
tvori pravokutni trokut s osi x. Dakle, trigonometrijom određujemo module komponentnih vektora.
Komponentni modul sjek.
Komponentni modul ay.
vektorski modul dobiva se iz Pitagorine teoreme.
Primjer
Sila se izvodi povlačenjem bloka iz tla. Sila modula od 50 N nagnuta je za 30° od horizontale. Odredi horizontalnu i vertikalnu komponentu ove sile.
Podaci:
Množenje realnog broja vektorom
Množenjem realnog broja vektorom, rezultat će biti novi vektor, koji ima sljedeće karakteristike:
- Isti smjer ako je stvarni broj različit od nule;
- Isti smjer, ako je realni broj pozitivan, a u suprotnom smjeru ako je negativan;
- Modul će biti umnožak modula realnog broja i modula pomnoženog vektora.
Umnožak između realnog broja i vektora
Gdje: je vektor dobiven množenjem;
je pravi broj;
je vektor koji se množi.
Primjer
Neka je realni broj n = 3 i vektor od modula 2, umnožak između njih jednak je:
Izračun modula
Smjer i smjer bit će isti.
Vježba 1
(Enem 2011) Sila trenja je sila koja ovisi o kontaktu tijela. Može se definirati kao sila suprotna tendenciji pomicanja tijela i nastaje zbog nepravilnosti između dviju površina u dodiru. Na slici strelice predstavljaju sile koje djeluju na tijelo, a uvećana točka predstavlja nepravilnosti koje postoje između dviju površina.
Na slici su vektori koji predstavljaju sile koje uzrokuju pomak i trenje:
The) 
B) 
ç) 
d) 
i) 
Točan odgovor: slovo a) 
Strelice predstavljaju vektore sila koje djeluju u gibanju u horizontalnom smjeru, budući da su par akcija-reakcija, imaju suprotne smjerove.
Vertikalne strelice predstavljaju djelovanje sile težine i normalne sile i, budući da su jednake, međusobno se poništavaju, bez kretanja u okomitom smjeru.
Vježba 2
(UEFS 2011) Vektorski dijagram na slici prikazuje sile koje djeluju dvije gumene trake na zub osobe koja je podvrgnuta ortodontskom liječenju.
Uz pretpostavku F = 10,0N, sen45° = 0,7 i cos45° = 0,7, intenzitet sile primijenjene elastikama na zub, u N, jednak je
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Točan odgovor: c) 2√85
Intenzitet sile primijenjene na zub dobiva se po zakonu kosinusa.
a i b jednaki su 10 N.
Faktoriranjem kvadratnog korijena dobivamo:
Dakle, intenzitet rezultantne sile koju primjenjuju gumene trake na zub je .
Vježba 3
(PUC RJ 2016) Sile F1, F2, F3 i F4, na slici, tvore prave kutove jedna prema drugoj i njihovi moduli su, redom, 1 N, 2 N, 3 N i 4 N.
Izračunajte modul neto sile u N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Točan odgovor: d) 2√ 2
Koristimo metodu poligonalne linije za određivanje rezultirajućeg vektora. Da bismo to učinili, preuređujemo vektore tako da se kraj jednog podudara s početkom drugog, ovako:
Koristeći koordinatni sustav s ishodištem na početku rezultirajućeg vektora, možemo odrediti module njegovih komponenti, kako slijedi:
Dakle, moramo:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Veličina rezultirajućeg vektora određena je Pitagorinim teoremom.
Stoga je modul neto sile jednak .
nauči više o
- Vektori: zbrajanje, oduzimanje i razlaganje.
- Vektorske količine
✖
