Eksponencijalna funkcija: 5 komentiranih vježbi

THE eksponencijalna funkcija je svaka funkcija ℝ u ℝ^*_+, definirano kao f (x) = a^x, gdje je a stvaran broj, veći od nule i nije jednak 1.

Iskoristite komentirane vježbe da biste očistili sve sumnje u ovaj sadržaj i provjerite svoje znanje u razriješenim pitanjima natjecanja.

Komentirane vježbe

Vježba 1

Skupina biologa proučava razvoj određene kolonije bakterija i utvrdio da se u idealnim uvjetima broj bakterija može pronaći pomoću izraza N (t) = 2000. 2^0,5t, biti t u satima.

Uzimajući u obzir ove uvjete, koliko dugo će nakon početka promatranja broj bakterija biti jednak 8192000?

Riješenje

U predloženoj situaciji znamo broj bakterija, odnosno znamo da je N (t) = 8192000 i želimo pronaći vrijednost t. Dakle, samo zamijenite ovu vrijednost u danom izrazu:

Da bismo riješili ovu jednadžbu, zapišimo broj 4096 u proste faktore, jer ako imamo istu bazu, možemo izjednačiti eksponente. Stoga, uzimajući u obzir broj, imamo:

Dakle, kultura će imati 8 192 000 bakterija nakon 1 dana (24 sata) od početka promatranja.

Vježba 2

Radioaktivni materijali imaju prirodnu tendenciju da vremenom raspadaju svoju radioaktivnu masu. Vrijeme koje je potrebno da se polovina njegove radioaktivne mase raspadne naziva se njezinim poluživotom.

Količina radioaktivnog materijala datog elementa daje se:

Biće,

N (t): količina radioaktivnog materijala (u gramima) u određenom vremenu.
N₀: početna količina materijala (u gramima)
T: vrijeme poluraspada (u godinama)
t: vrijeme (u godinama)

S obzirom da je vrijeme poluraspada ovog elementa jednako 28 godina, odredite vrijeme potrebno za smanjenje radioaktivnog materijala na 25% njegove početne količine.

Riješenje

Za predloženu situaciju A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, tako da možemo napisati dati izraz, zamjenjujući T za 28 godina, a zatim:

Stoga će trebati 56 godina da se količina radioaktivnog materijala smanji za 25%.

Pitanja za natjecanje

1) Unesp - 2018

Ibuprofen je propisani lijek protiv bolova i vrućice, s poluvijekom od približno 2 sata. To znači da će, na primjer, nakon 2 sata uzimanja 200 mg ibuprofena, samo 100 mg lijeka ostati u pacijentovom krvotoku. Nakon još 2 sata (ukupno 4 sata), u krvotoku će ostati samo 50 mg i tako dalje. Ako pacijent prima 800 mg ibuprofena svakih 6 sati, količina ovog lijeka koja će ostati u krvotoku 14. sata nakon uzimanja prve doze bit će

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Pogledajte Odgovor

Kako se početna količina lijeka u krvotoku svaka 2 sata dijeli na pola, možemo predstaviti ovu situaciju pomoću sljedeće sheme:

Imajte na umu da je eksponent u svakoj situaciji jednak vremenu podijeljenom s 2. Dakle, možemo definirati količinu lijeka u krvotoku u ovisnosti o vremenu, koristeći sljedeći izraz:

Biće

Q (t): količina u danom satu
P₀: početna unesena količina
t: vrijeme u satima

S obzirom da se uzimalo 800 mg ibuprofena svakih 6 h, onda imamo:

Da bismo pronašli količinu lijeka u krvotoku 14 sati nakon unosa 1. doze, moramo dodati količine koje se odnose na 1., 2. i 3. dozu. Izračunavajući ove količine, imamo:

Količina 1. doze naći će se uzimajući u obzir vrijeme jednako 14 sati, tako da imamo:

Za drugu dozu, kao što je prikazano na gornjem dijagramu, vrijeme je bilo 8 sati. Zamjenjujući ovu vrijednost, imamo:

Vrijeme za 3. dozu bit će samo 2 sata. Količina povezana s 3. dozom tada će biti:

Sad kad znamo količine za svaku unesenu dozu, možemo pronaći ukupnu količinu dodavanjem svake pronađene količine:

P_ukupno= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Jezero kojim se opskrbljivao grad zagađeno je nakon industrijske nesreće, dosegnuvši razinu toksičnosti T₀, što odgovara deset puta većoj od početne razine.
Pročitajte podatke u nastavku.

• Prirodni protok jezera omogućuje obnavljanje 50% volumena svakih deset dana.
• Razina toksičnosti T (x), nakon x dana nesreće, može se izračunati pomoću sljedeće jednadžbe:

Uzmite u obzir D najmanji broj dana obustave opskrbe vodom, potreban da bi se toksičnost vratila na početnu razinu.
Ako je log 2 = 0,3, vrijednost D jednaka je:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Pogledajte Odgovor

Za povratak na početnu razinu toksičnosti potrebno je sljedeće:

Zamjenjujući ovu vrijednost u datoj funkciji, imamo:

Množeći se u "križ", jednadžba postaje:

2 ^0,1x= 10

Primijenimo logaritam baze 10 na obje strane da bismo ga pretvorili u jednadžbu 1. stupnja:

trupac (2^0,1x) = dnevnik 10

Sjećajući se da je zapisnik 10 u bazi 10 jednak 1, naša će jednadžba izgledati ovako:

0,1x. log 2 = 1

Uzimajući u obzir da je log 2 = 0,3 i zamjenjujući tu vrijednost u jednadžbi:

Dakle, najmanji broj dana, otprilike, kada bi se opskrba trebala obustaviti je 34 dana.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Neka su f: ℝ → ℝ i g: ℝ₊ → ℝ definirano s

odnosno.

Grafikon kompozitne funkcije g_ºvjera:

Pogledajte Odgovor

Graf koji tražite je složena funkcija g_ºf, dakle, prvi je korak odrediti ovu funkciju. Za to moramo funkciju f (x) zamijeniti u x funkcije g (x). Izvršenjem ove zamjene pronaći ćemo:

Koristeći svojstvo logaritma količnika i potencije, imamo:

Imajte na umu da je gore pronađena funkcija tipa ax + b, što je afina funkcija. Dakle, vaš će graf biti ravna crta.

Također, nagib a jednak je log₁₀ 5, što je pozitivan broj, pa će se graf povećavati. Na taj način možemo eliminirati opcije b, c i e.

Preostaju nam opcije a i d, međutim, kada je x = 0 imamo gof = - log₁₀ 2 što je negativna vrijednost predstavljena na grafikonu a.

Alternativa a)

4) Unicamp - 2014

Grafikon u nastavku prikazuje krivulju biotskog potencijala q (t) za populaciju mikroorganizama tijekom vremena t.

Budući da su a i b stvarne konstante, funkcija koja može predstavljati taj potencijal jest

a) q (t) = pri + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = at² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Pogledajte Odgovor

Iz prikazanog grafa možemo prepoznati da je kada je t = 0, funkcija jednaka 1000. Nadalje, također je moguće primijetiti da funkcija nije afinna, jer graf nije ravna crta.

Kad bi funkcija bila tipa q (t) = at²+ bt, kada je t = 0, rezultat bi bio jednak nuli, a ne 1000. Dakle, to nije ni kvadratna funkcija.

Kako se prijaviti_B0 nije definirano niti bi kao odgovor moglo imati funkciju q (t) = a + log_Bt.

Dakle, jedina opcija bila bi funkcija q (t) = ab^t. S obzirom na t = 0, funkcija će biti q (t) = a, budući da je a konstantna vrijednost, dovoljno je da je jednaka 1000 da funkcija odgovara zadanom grafu.

Alternativa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Sindikat radnika tvrtke predlaže da najniža plaća u razredu iznosi 1.800,00 R $, predlažući fiksni postotni porast za svaku godinu posvećenu poslu. Izraz koji odgovara prijedlogu (ima) za plaću, u funkciji radnog staža (t), u godinama je s (t) = 1800. (1,03)^t .

Prema prijedlogu sindikata, plaća profesionalca iz ove tvrtke s 2 godine radnog staža bit će, u stvarnim iznosima,

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Pogledajte Odgovor

Izraz za izračunavanje plaće kao funkcije vremena koji je predložio sindikat odgovara eksponencijalnoj funkciji.

Da bismo pronašli vrijednost plaće u naznačenoj situaciji, izračunajmo vrijednost s, kada je t = 2, kako je navedeno u nastavku:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909,62

Pročitajte i vi:

• Eksponencijalna funkcija
• Logaritam
• Logaritam - vježbe
• Svojstva logaritma
• Potenciranje
• vježbe za potenciranje
• Afina funkcija
• Linearna funkcija
• Vježbe povezane funkcije
• Kvadratna funkcija
• Kvadratna funkcija - vježbe
• Matematičke formule