Matrice: komentirane i riješene vježbe

Matrica je tablica koju čine realni brojevi, poredani u redove i stupce. Brojevi koji se pojavljuju u matrici nazivaju se elementima.

Iskoristite riješena i komentirana pitanja prijemnog ispita da biste očistili sve svoje sumnje u vezi s ovim sadržajem.

Riješena pitanja prijemnog ispita

1) Unicamp - 2018

Neka su a i b stvarni brojevi takvi da je matrica A = zadovoljava jednadžbu A²= aA + bI, gdje je I matrica identiteta reda 2. Dakle, proizvod ab jednak je

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Pogledajte Odgovor

Da bismo saznali vrijednost proizvoda a.b, prvo moramo znati vrijednost a i b. Pa razmotrimo jednadžbu datu u zadatku.

Da bismo riješili jednadžbu, izračunajmo vrijednost A², što se postiže množenjem matrice A samo po sebi, to jest:

Ova se operacija vrši množenjem redaka prve matrice sa stupcima druge matrice, kao što je prikazano dolje:

Na taj način matrica A² to je isto kao:

Uzimajući u obzir vrijednost koju smo upravo pronašli i sjećajući se da su u matrici identiteta elementi glavne dijagonale jednaki 1, a ostali elementi jednaki 0, jednadžba će biti:

Sada matricu A moramo pomnožiti s brojem a, a matricu identiteta s brojem b.

Ne zaboravite da za množenje broja nizom množimo broj sa svakim elementom niza.

Tako će naša jednakost biti jednaka:

Zbrajanjem dviju matrica imamo:

Dvije su matrice jednake kad su svi odgovarajući elementi jednaki. Na taj način možemo napisati sljedeći sustav:

Izoliranje a u drugoj jednadžbi:

Zamjenjujući vrijednost pronađenu za a u prvoj jednadžbi, nalazimo vrijednost b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Dakle, proizvod će dobiti:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternativa: a) −2.

2) Unesp - 2016

Točka P, koordinata (x, y) pravokutne kartezijanske ravnine, predstavljena je matricom stupaca. , kao i matrica stupaca predstavlja u pravokutnoj kartezijanskoj ravnini točku P koordinata (x, y). Dakle, rezultat množenja matrice je matrica stupaca koja u pravokutnoj kartezijanskoj ravnini nužno predstavlja točku koja je

a) rotacija P za 180º u smjeru kazaljke na satu i sa središtem na (0, 0).
b) rotacija P za 90 ° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, sa središtem na (0, 0).
c) simetrično P u odnosu na vodoravnu os x.
d) simetrično P u odnosu na vertikalnu os y.
e) rotacija P za 90 ° u smjeru kazaljke na satu i sa središtem na (0, 0).

Pogledajte Odgovor

Točka P predstavljena je matricom, tako da je apscisa (x) označena elementom a.₁₁ a ordinata (y) elementom a₂₁ matrice.

Da bismo pronašli novi položaj točke P, moramo riješiti množenje predstavljenih matrica i rezultat će biti:

Rezultat predstavlja novu koordinatu točke P, to jest apscisa je jednaka -y, a ordinata x.

Da bismo identificirali transformaciju podvrgnutu položaju točke P, predstavimo situaciju u kartezijanskoj ravnini, kako je naznačeno dolje:

Stoga se točka P, koja se isprva nalazila u 1. kvadrantu (pozitivna apscisa i ordinata), pomaknula u 2. kvadrant (negativna apscisa i pozitivna ordinata).

Prilikom pomicanja u ovaj novi položaj točka se rotirala u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kao što je na gornjoj slici predstavljena crvenom strelicom.

Još trebamo utvrditi kolika je bila vrijednost kuta rotacije.

Povezujući izvorni položaj točke P sa središtem kartezijanske osi i čineći isto u odnosu na novi položaj P ', imamo sljedeću situaciju:

Imajte na umu da su dva trokuta navedena na slici sukladna, odnosno imaju ista mjerenja. Na taj su način i njihovi kutovi jednaki.

Uz to, kutovi α i θ komplementarni su, jer je zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak 180 °, a budući da je trokut pravokutni, zbroj ova dva kuta bit će jednak 90 °.

Prema tome, kut rotacije točke, označen na slici s β, može biti jednak samo 90 °.

Alternativa: b) rotacija P za 90 ° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, sa središtem na (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Budući da je a stvaran broj, uzmimo u obzir matricu A = . Dakle²⁰¹⁷ isto je kao
The)
B)
ç)
d)

Pogledajte Odgovor

Prvo, pokušajmo pronaći obrazac za moći, budući da je puno rada množiti matricu A samu od sebe 2017 puta.

Sjećajući se da se u množenju matrica svaki element pronalazi dodavanjem rezultata množenja elemenata u redu jednog s elementima u stupcu drugog.

Krenimo od izračunavanja A²:

Rezultat je bila matrica identiteta, a kada pomnožimo bilo koju matricu matricom identiteta, rezultat će biti sama matrica.

Stoga vrijednost A³ bit će jednaka samoj matrici A, budući da je A³ = A². THE.

Taj će se rezultat ponoviti, odnosno kada je eksponent paran, rezultat je matrica identiteta, a kada je neparan, bit će to matrica A sama.

Budući da je 2017. godina neparna, tada će rezultat biti jednak matrici A.

Alternativa: b)

4) UFSM - 2011

Dati dijagram predstavlja pojednostavljeni lanac prehrane određenog ekosustava. Strelice pokazuju vrstu kojom se hrane druge vrste. Pripisujući vrijednost 1 kada se jedna vrsta hrani drugom i nula, kada se dogodi suprotno, imamo sljedeću tablicu:

Matrica A = (a_{i J})_4x4, povezan sa tablicom, ima sljedeći zakon o obuci:

Pogledajte Odgovor

Budući da je broj retka označen s i, a broj stupca označen s j, i gledajući tablicu, primjećujemo da kada je i jednako j, ili je i veće od j, rezultat je nula.

Pozicije koje zauzimaju 1 su one na kojima je broj stupca veći od broja retka.

Alternativa: c)

5) Unesp - 2014

Razmotrimo matričnu jednadžbu A + BX = X + 2C, čija je nepoznanica matrica X i sve matrice su kvadrata reda n. Nužan i dovoljan uvjet da bi ova jednadžba imala jedno rješenje je da:

a) B - I ≠ O, gdje je I matrica identiteta reda n, a O null matrica reda n.
b) B je invertibilan.
c) B ≠ O, gdje je O nulta matrica reda n.
d) B - I je invertibilan, gdje sam I matrica identiteta reda n.
e) A i C su obrnuti.

Pogledajte Odgovor

Da bismo riješili matričnu jednadžbu, moramo izolirati X s jedne strane znaka jednakosti. Da bismo to učinili, u početku oduzmimo matricu A s obje strane.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

A sada, oduzmimo X, također s obje strane. U ovom slučaju jednadžba će biti:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Budući da sam I matrica identiteta, kad matricu pomnožimo s identitetom, rezultat je sama matrica.

Dakle, da bismo izolirali X, sada moramo pomnožiti obje strane znaka jednakosti inverznom matricom (B-I), to jest:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Sjećajući se da je kada je matrica invertibilna, umnožak matrice po inverzi jednak matrici identiteta.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Dakle, jednadžba će imati rješenje kad je B - I invertibilan.

Alternativa: d) B - I je invertibilan, gdje I je matrica identiteta reda n.

6) Enem - 2012

Student je dvomjesečno ocjenjivao neke od svojih predmeta u tablicu. Primijetio je da su numerički unosi u tablicu tvorili matricu 4x4 te da je mogao izračunati godišnje prosjeke za te discipline koristeći umnožak matrica. Svi testovi imali su istu težinu, a tablica koju je dobio prikazana je u nastavku

Da bi dobio ove prosjeke, umnožio je matricu dobivenu iz tablice sa

Pogledajte Odgovor

Aritmetička sredina izračunava se zbrajanjem svih vrijednosti i dijeljenjem s brojem vrijednosti.

Dakle, učenik mora dodati ocjene od 4 bimestra i podijeliti rezultat s 4 ili pomnožiti svaku ocjenu s 1/4 i dodati sve rezultate.

Koristeći matrice, isti rezultat možemo postići množenjem matrica.

Međutim, moramo se sjetiti da je moguće pomnožiti dvije matrice samo kada je broj stupaca u jednom jednak broju redaka u drugom.

Kako matrica bilješki ima 4 stupca, matrica koju ćemo množiti mora imati 4 retka. Dakle, moramo pomnožiti s matricom stupaca:

Alternativa: i

7) Fuvest - 2012

Razmotrimo matricu , na što The je stvaran broj. Znajući da A priznaje obrnuto A^-1 čiji je prvi stupac , zbroj elemenata glavne dijagonale A^-1 isto je kao

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Pogledajte Odgovor

Množenje matrice s njezinom inverznom vrijednosti jednako je matrici identiteta, tako da situaciju možemo prikazati sljedećom operacijom:

Rješavajući množenje drugog retka prve matrice prvim stupcem druge matrice, imamo sljedeću jednadžbu:

(do 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Zamjenjujući vrijednost a u matrici, imamo:

Sad kad znamo matricu, izračunajmo njezinu odrednicu:

Dakle, zbroj glavne dijagonale bit će jednak 5.

Alternativa: a) 5

Da biste saznali više, pogledajte također:

• Matrice
• Odrednice
• Sarrusovo pravilo
• Laplaceov teorem
• Prenesena matrica