Trigonometrija je važna tema u matematici koja pored ostalih trigonometrijskih funkcija omogućuje poznavanje stranica i kutova u pravokutnom trokutu kroz sinus, kosinus i tangentu.
Da biste poboljšali svoje studije i proširili svoje znanje, slijedite popis od 8 vježbi, plus 4 pitanja za prijemni ispit, a sve se rješavaju korak po korak.
Vježba 1
Promatrajući ujutro sjenu zgrade na tlu, jedna je osoba otkrila da je ona izmjerila 63 metra kada su sunčeve zrake napravile kut od 30 ° s površinom. Na temelju tih podataka izračunajte visinu zgrade.
Točan odgovor: Otprilike 36,37 m.
Zgrada, sjena i sunčeva zraka određuju pravokutni trokut. Pomoću kuta od 30 ° i tangente možemo odrediti visinu zgrade.
Budući da je visina zgrade h, imamo:
Vježba 2
Na opsegu promjera 3, segment AC, koji se naziva tetiva, tvori kut od 90 ° s drugom tetivom CB iste duljine. Koja je mjera žica?
Točan odgovor: Duljina užeta je 2,12 cm.
Kako segmenti AC i CB tvore kut od 90 ° i jednake su duljine, formirani trokut je jednakokračan, a osnovni kutovi jednaki.
Budući da je zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak 180 °, a već imamo kut od 90 °, preostalo je još 90 ° koje treba podijeliti podjednako između dva osnovna kuta. Dakle, njihova vrijednost jednaka je 45 ° svaki.
Budući da je promjer jednak 3 cm, radijus je 1,5 cm i pomoću kosinusa od 45 ° možemo odrediti duljinu žice.
Vježba 3
Biciklist koji sudjeluje u prvenstvu približava se cilju na vrhu padine. Ukupna duljina ovog posljednjeg dijela ispitivanja je 60 m, a kut koji nastaje između rampe i horizontale iznosi 30 °. Znajući to, izračunajte vertikalnu visinu koju biciklist treba popeti.
Točan odgovor: Visina će biti 30 m.
Nazivajući visinu h, imamo:
Vježba 4
Sljedeću sliku čine tri trokuta gdje visina h određuje dva prava kuta. Vrijednosti elementa su:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Pronađite vrijednost a + b.
Točan odgovor:
Mjerenja segmenata a i b možemo odrediti pomoću tangenti zadanih kutova.
Izračun:
Izračun b:
Tako,
Vježba 5
Avion je poletio iz grada A i preletio pravocrtno 50 km dok nije sletio u grad B. Poslije je preletio još 40 km, ovaj put prema gradu D. Ove dvije rute međusobno su pod kutom od 90 °. Međutim, zbog nepovoljnih vremenskih uvjeta, pilot je iz kontrolnog tornja dobio komunikaciju u kojoj ga obavještava da ne može sletjeti u grad D i da se treba vratiti u grad A.
Da bi zaokrenuo iz točke C, pilot bi morao skrenuti za koliko stupnjeva udesno?
Smatrati:
grijeh 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
žutosmeđa 51 ° = 1,25
Točan odgovor: Pilot mora skrenuti za 129 ° udesno.
Analizirajući lik, vidimo da put tvori pravokutni trokut.
Nazovimo kut koji tražimo W. Kutovi W i Z su dopunski, odnosno čine plitki kut od 180 °.
Dakle, W + Z = 180 °.
Š = 180 - Z (jednadžba 1)
Naš je zadatak sada odrediti Z kut i za to ćemo upotrijebiti njegovu tangentu.
Moramo se zapitati: Koji je kut čija je tangenta 1,25?
Problem nam daju ovi podaci, tan 51 ° = 1,25.
Ta se vrijednost također može pronaći u trigonometrijskoj tablici ili pomoću znanstvenog kalkulatora, pomoću funkcije:
Zamjenjujući vrijednost Z u jednadžbi 1, imamo:
Š = 180 ° - 51 ° = 129 °
Vježba 6
Zraka monokromatske svjetlosti pri prelasku iz jednog medija u drugi trpi odstupanje prema njemu. Ova promjena u njegovom širenju povezana je s indeksima loma medija, kao što je prikazano u sljedećem odnosu:
Snelllov zakon - Descartes
Gdje su i i r kutovi pada i loma, a n1 i n2, indeksi loma sredstava 1 i 2.
Kada udari u površinu razdvajanja između zraka i stakla, zraka svjetlosti mijenja svoj smjer, kao što je prikazano na slici. Koji je indeks loma stakla?
Podaci: Indeks loma zraka jednak 1.
Točan odgovor: Indeks loma stakla jednak je .
Zamjena vrijednosti koje imamo:
Vježba 7
Da bi uvukao cjepanicu u svoju radionicu, bravar je privezao uže za kladu i povukao je deset metara preko vodoravne površine. Sila od 40 N kroz žicu napravila je kut od 45 ° sa smjerom vožnje. Izračunaj rad primijenjene sile.
Točan odgovor: Izvedeni rad je približno 84,85 J.
Rad je skalarna veličina dobivena umnoškom sile i pomaka. Ako sila nema isti smjer pomicanja, moramo razložiti tu silu i uzeti u obzir samo komponentu u tom smjeru.
U tom slučaju moramo pomnožiti veličinu sile s kosinusom kuta.
Tako imamo:
Vježba 8
Između dvije planine, stanovnici dvaju sela morali su teže putovati gore-dolje. Kako bi se razriješila situacija, odlučeno je da se izgradi kablovski most između sela A i B.
Bilo bi potrebno izračunati udaljenost između dvaju sela pomoću ravne crte na kojoj bi se most protezao. Kako su stanovnici već znali visinu gradova i kutove uspona, ta se udaljenost mogla izračunati.
Na temelju donjeg dijagrama i znajući da je visina gradova 100 m, izračunajte duljinu mosta.
Točan odgovor: Most bi trebao imati duljinu otprilike 157,73 m.
Duljina mosta zbroj je stranica susjednih zadanim kutovima. Nazivajući visinu h, imamo:
Izračun s kutom od 45 °
Izračun s kutom od 60 °
Za određivanje duljine mosta zbrajamo dobivene vrijednosti.
Pitanje 1
Cefet - SP
U donjem trokutu ABC, CF = 20 cm i BC = 60 cm. Označite mjerenja segmenata AF i BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Odgovor: b) 10, 20
Za određivanje AF
Primjećujemo da je AC = AF + CF, pa moramo:
AF = AC - CF (jednadžba 1)
CF je dan zadatkom, a jednak je 20 cm.
AC se može odrediti pomoću sinusa od 30 °.
BC daje problem, a jednak je 60 cm.
Zamjenom u jednadžbi 1 imamo:
Da bi se utvrdilo BE
Prvo opažanje:
Provjeravamo je li lik unutar trokuta pravokutnik zbog pravih kutova određenih na slici.
Stoga su im stranice paralelne.
Drugo opažanje:
Segment BE tvori pravokutni trokut s kutom od 30 ° gdje je: visina jednaka AF, koju smo upravo odredili, a BE je hipotenuza.
Izračunavanje:
Za određivanje BE koristimo sinus od 30 °
pitanje 2
EPCAR-MG
Avion polijeće iz točke B pod stalnim nagibom od 15 ° prema horizontali. 2 km od B je okomita projekcija C najviše točke D 600 m visokog planinskog lanca, kao što je prikazano na slici.
Podaci: cos 15 ° = 0,97; grijeh 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Ispravno je reći da:
a) Avion se neće sudariti s pilom prije nego što dosegne 540 m visine.
b) Doći će do sudara aviona i pile na visini od 540 m.
c) Avion će se sudariti s pilom u D.
d) Ako avion uzleti 220 m prije B, zadržavajući isti nagib, neće doći do sudara aviona s pilom.
Odgovor: b) Doći će do sudara aviona i pile na visini od 540 m.
Prvo je potrebno koristiti isti višekratnik jedinice za mjerenje duljine. Stoga ćemo ići 2 km do 2000 m.
Slijedeći iste početne uvjete leta, možemo predvidjeti visinu na kojoj će se avion nalaziti u vertikalnoj projekciji točke C.
Koristeći tangentu od 15 ° i definirajući visinu kao h, imamo:
pitanje 3
ENEM 2018
Za ukrašavanje ravnog kružnog cilindra upotrijebit će se pravokutna traka prozirnog papira na kojoj je podebljano nacrtana dijagonala koja tvori 30 ° s donjim rubom. Polumjer baze cilindra mjeri 6 / π cm, a pri navijanju trake dobiva se crta u obliku zavojnice, kao što je prikazano na slici.
Vrijednost mjerenja visine cilindra, u centimetrima, iznosi:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Odgovor: b) 24√3
Promatrajući lik uočavamo da je oko cilindra napravljeno 6 zavoja. Kako je to ravni valjak, bilo gdje u njegovoj visini imat ćemo krug kao bazu.
Za izračun mjere osnovice trokuta.
Duljina kruga može se dobiti iz formule:
Gdje je r polumjer e, jednak ,imamo:
Kako je 6 krugova:
Za izračunavanje visine možemo koristiti tamnost od 30 °.
pitanje 4
ENEM 2017
Zrake sunca dosežu površinu jezera pod kutom X svojom površinom, kao što je prikazano na slici.
Pod određenim uvjetima može se pretpostaviti da je svjetlosni intenzitet ovih zraka, na površini jezera, približno izražen s I (x) = k. sin (x), k je konstanta i pod pretpostavkom da je X između 0 ° i 90 °.
Kada je x = 30º, intenzitet svjetlosti se smanjuje na koliki postotak njegove maksimalne vrijednosti?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Odgovor: B) 50%
Zamjenjujući vrijednost sinusne vrijednosti 30 ° u funkciji, dobivamo:
Smanjivši vrijednost k za polovicu, intenzitet je 50%.
Vježbajte više vježbi u:
Vježbe trigonometrije
Proširite svoje znanje sa:
Trigonometrija u pravokutnom trokutu
Metrički odnosi u pravokutnom trokutu
Trigonometrija