Kompleksni brojevi: definicija, operacije i vježbe

Kompleksni brojevi su brojevi sastavljeni od stvarnog i imaginarnog dijela.

Predstavljaju skup svih uređenih parova (x, y), čiji elementi pripadaju skupu realnih brojeva (R).

Skup kompleksnih brojeva označen je s Ç i definirane operacijama:

• Jednakost: (a, b) = (c, d) ↔ a = c i b = d
• Dodatak: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Množenje: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Zamišljena jedinica (i)

Označeno slovom ja, zamišljena jedinica je uređeni par (0, 1). Uskoro:

ja i = -1 ↔ i² = –1

Tako, ja je kvadratni korijen od –1.

Algebarski oblik Z

Algebarski oblik Z koristi se za predstavljanje kompleksnog broja pomoću formule:

Z = x + yi

Gdje:

• x je stvarni broj označen s x = Re (Z), koji se poziva stvarni dio z.
• g je stvarni broj označen s y = Im (Z), koji se zove zamišljeni dio Z.

Konjugat složenog broja

Konjugat kompleksnog broja označen je s z, definirano s z = a - bi. Dakle, zamjenjuje se znak njegovog zamišljenog dijela.

Dakle, ako je z = a + bi, tada je z = a - bi

Kad pomnožimo složeni broj njegovim konjugatom, rezultat će biti stvarni broj.

Jednakost između složenih brojeva

Biti dva složena broja Z₁ = (a, b) i Z₂ = (c, d), jednaki su kada je a = c i b = d. To je zato što imaju identične stvarne i imaginarne dijelove. Tako:

a + bi = c + di Kada a = c i b = d

Operacije s složenim brojevima

Složenim brojevima moguće je izvesti operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Pogledajte definicije i primjere u nastavku:

Dodatak

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

U algebarskom obliku imamo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Primjer:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Oduzimanje

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

U algebarskom obliku imamo:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Primjer:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Množenje

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

U algebarskom obliku koristimo distribucijsko svojstvo:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Primjer:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Podjela

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

U gornjoj jednakosti, ako je Z₃ = x + yi, imamo:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Po sustavu nepoznanica x i y imamo:

cx - dy = a
dx + cy = b

Uskoro,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Primjer:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Vježbe prijamnog ispita s povratnim informacijama

1. (UF-TO) Razmislite ja zamišljena jedinica složenih brojeva. Vrijednost izraza (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Pogledajte Odgovor

Alternativa c: 16

2. (UEL-PR) Kompleksni broj z koji provjerava jednadžbu iz - 2w (1 + i) = 0 (w označava da je konjugat z):

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Pogledajte Odgovor

Alternativa e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Razmotrimo kompleksni broj z = cos π / 6 + i sin π / 6. vrijednost z³ + Z⁶ + Z¹² é:

tamo
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Pogledajte Odgovor

Alternativa d: i

Pogledajte još pitanja s komentiranim rješenjem u Vježbe na složenim brojevima.

Video lekcije

Da biste proširili svoje znanje o složenim brojevima, pogledajte videozapis "Uvod u složene brojeve"

Uvod u kompleksne brojeve

Povijest kompleksnih brojeva

Do otkrića složenih brojeva došlo je u 16. stoljeću zahvaljujući doprinosu matematičara Girolama Cardanoa (1501.-1576.).

Međutim, matematičar Carl Friedrich Gauss (1777. - 1855.) ove je studije formalizirao tek u 18. stoljeću.

Ovo je bio velik korak naprijed u matematici, jer negativni broj ima kvadratni korijen, što se do otkrivanja složenih brojeva smatralo nemogućim.

Da biste saznali više, pogledajte također

• Numerički skupovi
• Polinomi
• iracionalni brojevi
• Jednadžba 1. stupnja
• Pojačavanje i zračenje