Prosjek, način i medijan mjere su središnje tendencije koja se koristi u statistici.
Prosječno
Prosjek (Mi) izračunava se dodavanjem svih vrijednosti u skupu podataka i dijeljenjem s brojem elemenata u tom skupu.
Kako je srednja vrijednost mjera osjetljiva na vrijednosti uzorka, prikladnija je za situacije kada su podaci više ili manje ravnomjerno raspoređeni, odnosno vrijednosti bez velikih odstupanja.
Formula
Biće,
Mi: prosjek
x1, x2, x3,..., xNe: vrijednosti podataka
n: broj elemenata skupa podataka
Primjer
Igrači košarkaške momčadi imaju sljedeće uzraste: 28, 27, 19, 23 i 21 godinu. Koja je prosječna dob ove momčadi?
Riješenje
Pročitajte i vi Jednostavni prosjek i ponderirani prosjek i Geometrijska sredina.
Moda
Moda (MO) predstavlja najčešću vrijednost skupa podataka, pa je za njegovo definiranje dovoljno promatrati učestalost pojavljivanja vrijednosti.
Skup podataka naziva se bimodalni kada ima dva načina, odnosno dvije su vrijednosti češće.
Primjer
U prodavaonici cipela za jedan dan prodani su sljedeći brojevi cipela: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 i 41. Koja je modna vrijednost ovog uzorka?
Riješenje
Promatrajući prodane brojeve, primijetili smo da je broj 36 bio onaj s najvećom frekvencijom (3 para), stoga je način jednak:
MO = 36
medijan
Medijan (Md) predstavlja osnovnu vrijednost skupa podataka. Za pronalaženje medijane vrijednosti potrebno je postaviti vrijednosti u rastućem ili silaznom redoslijedu.
Kada je broj elemenata u skupu paran, medijan se pronalazi u prosjeku dviju središnjih vrijednosti. Dakle, ove vrijednosti se zbrajaju i dijele s dvije.
Primjeri
1) U školi je učitelj tjelesnog odgoja zapisao visinu grupe učenika. S obzirom da su izmjerene vrijednosti bile: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m i 1,78 m, kolika je vrijednost medijana visine učenika?
Riješenje
Prvo moramo dovesti vrijednosti u red. U ovom slučaju stavit ćemo ga u rastući redoslijed. Dakle, skup podataka bit će:
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78
Kako se skup sastoji od 9 elemenata, što je neparan broj, tada će medijan biti jednak 5. elementu, to jest:
Md = 1,65 m
2) Izračunajte medijan vrijednosti sljedećeg uzorka podataka: (32, 27, 15, 44, 15, 32).
Riješenje
Prvo moramo urediti podatke, pa imamo:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Kako se ovaj uzorak sastoji od 6 elemenata, što je paran broj, medijan će biti jednak prosjeku središnjih elemenata, to jest:
Da biste saznali više, također pročitajte:
- Statistički
- Mjere disperzije
- Varijansa i standardno odstupanje
Riješene vježbe
1. (BB 2013. - Zaklada Carlos Chagas). U prva četiri radna dana u tjednu upravitelj podružnice banke opsluživao je 19, 15, 17 i 21 klijenta. Peti radni dan ovog tjedna ovaj je upravitelj prisustvovao n kupcima.
Ako je prosječni dnevni broj kupaca koje je ovaj upravitelj opsluživao u pet radnih dana ovog tjedna bio 19, medijan je bio
a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.
Iako već znamo prosjek, prvo moramo znati broj kupaca koji su usluženi petog radnog dana. Tako:
Da bismo pronašli medijanu, vrijednosti moramo staviti u rastući redoslijed, tako da imamo: 15, 17, 19, 21, 23. Stoga je medijan 19.
Alternativa: b) 19.
2. (ENEM 2010 - Pitanje 175 - Prova Rosa). Tablica u nastavku prikazuje učinak nogometne momčadi u prošlom prvenstvu.
Lijevi stupac prikazuje broj postignutih golova, a desni stupac govori vam koliko je utakmica ekipa postigla taj broj golova.
| Golovi postignuti | Broj podudaranja |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1 |
Ako su X, Y i Z srednja vrijednost, medijan i način ove raspodjele, tada
a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z
Moramo izračunati srednju vrijednost, medijan i modus. Da bismo izračunali prosjek, moramo dodati ukupan broj golova i podijeliti s brojem utakmica.
Ukupan broj golova naći će se množenjem broja postignutih golova s brojem utakmica, odnosno:
Ukupno golova = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45
Ako je ukupan broj utakmica jednak 20, prosjek golova bit će jednak:
Da bismo pronašli modnu vrijednost, provjerimo najčešće brojanje golova. U ovom slučaju napominjemo da u 5 utakmica nije postignut niti jedan gol.
Nakon ovog rezultata, susreti koji su imali 2 gola bili su najčešći (ukupno 4 meča). Stoga,
Z = MO = 0
Medijan će se naći stavljanjem brojeva golova u red. Kako je broj igara bio jednak 20, što je parna vrijednost, moramo izračunati prosjek između dvije središnje vrijednosti, pa imamo:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
S ovim rezultatima znamo da:
X (prosjek) = 2,25
Y (medijan) = 2
Z (način rada) = 0
Odnosno Z
Alternativa: e) Z
Vidi i ti:
- Vrste grafike
- Standardno odstupanje
- Statistika - vježbe
- Matematika u neprijatelju
