THE teorija vjerojatnosti je grana Matematike koja proučava eksperimente ili slučajne pojave i kroz nju je moguće analizirati šanse da se dogodi određeni događaj.
Kada izračunavamo vjerojatnost, povezujemo stupanj pouzdanosti da će se dogoditi mogući rezultati pokusa čiji se rezultati ne mogu unaprijed utvrditi.
Na taj način izračunavanje vjerojatnosti pridružuje pojavu rezultata vrijednosti koja varira od 0 do 1, a što je rezultat bliži 1, to je veća izvjesnost njegovog nastanka.
Na primjer, možemo izračunati vjerojatnost da će osoba kupiti dobitnu lutriju ili znati koeficijente da će par imati 5 djece, sve dječake.
slučajni eksperiment
Slučajni eksperiment je onaj koji ne može predvidjeti koji će se rezultat naći prije izvođenja.
Događaji ove vrste, kada se ponove pod istim uvjetima, mogu dati različite rezultate i ta se nestalnost pripisuje slučaju.
Primjer slučajnog eksperimenta je kotrljanje nepristrane matrice (matrice koja ima homogenu raspodjelu mase) prema gore. Pri padu nije moguće sa sigurnošću predvidjeti koje će od 6 lica biti okrenuto prema gore.
Formula vjerojatnosti
U slučajnom su fenomenu šanse da se događaj dogodi jednako su vjerojatne.
Stoga vjerojatnost nastanka određenog rezultata možemo pronaći dijeljenjem broja povoljnih događaja i ukupnog broja mogućih ishoda:
Biće:
godišnje): vjerojatnost pojave događaja A
na): broj slučajeva koji nas zanimaju (događaj A)
n (Ω): ukupan broj mogućih slučajeva
Primjeri
1) Ako kotrljamo savršenu kockicu, kolika je vjerojatnost da će se valjati broj manji od 3?
Riješenje
Kao savršeno umrlo, svih 6 lica imaju jednake šanse da padnu licem prema gore. Pa primijenimo formulu vjerojatnosti.
Za to moramo uzeti u obzir da imamo 6 mogućih slučajeva (1, 2, 3, 4, 5, 6) i da događaj "od broja manjeg od 3" ima 2 mogućnosti, odnosno od broja 1 ili broj 2. Tako imamo:
2) Špil karata sastoji se od 52 karte podijeljene u četiri boje (srca, palice, dijamanti i pikovi) s po 13 karata svake boje. Dakle, ako slučajno izvučete kartu, kolika je vjerojatnost da će karta izaći iz klupske odijela?
Riješenje
Kada nasumično izvlačimo kartu, ne možemo predvidjeti koja će to biti. Ovo je slučajni eksperiment.
U ovom slučaju, broj karata odgovara broju mogućih slučajeva i imamo 13 klubova koji predstavljaju broj povoljnih događaja.
Zamjenjujući ove vrijednosti u formuli vjerojatnosti, imamo:
Uzorak prostora
predstavljen slovom Ω, prostor uzorka odgovara skupu mogućih rezultata dobivenih slučajnim eksperimentom.
Na primjer, kada slučajno uzimate kartu s špila, prostor za uzorke odgovara 52 karte koje čine ovaj špil.
Isto tako, prostor uzorka kada se jednom kotura matrica, šest je lica koja ga čine:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 i 6}.
Vrste događaja
Događaj je bilo koji podskup prostora uzorka slučajnog eksperimenta.
Kada je događaj potpuno isti kao i njegov uzorak, naziva se a pravi događaj. Suprotno tome, kada je događaj prazan, naziva se a nemogući događaj.
Primjer
Zamislite da imamo kutiju s kuglicama brojevima od 1 do 20 i da su sve kuglice crvene.
Događaj "izvuci crvenu kuglu" siguran je događaj, jer su sve kuglice u kutiji ove boje. Događaj "izvuci broj veći od 30" je nemoguć, jer je najveći broj u polju 20.
Kombinacijska analiza
U mnogim je situacijama moguće izravno otkriti broj mogućih i povoljnih događaja u slučajnom eksperimentu.
Međutim, u nekim ćete problemima trebati izračunati ove vrijednosti. U ovom slučaju možemo koristiti formule za permutaciju, raspored i kombinaciju prema situaciji predloženoj u pitanju.
Da biste saznali više o temi, idite na:
- Kombinacijska analiza
- Vježbe kombinirane analize
- Temeljni princip brojanja
- Permutacija
Primjer
(EsPCEx - 2012) Vjerojatnost dobivanja broja djeljivog sa 2 u slučajnom izboru jedne od permutacija znamenki 1, 2, 3, 4, 5 je
Riješenje
U ovom slučaju moramo saznati broj mogućih događaja, odnosno koliko različitih brojeva dobivamo mijenjajući redoslijed danih 5 znamenki (n = 5).
Kako ćemo u ovom slučaju redoslijedom znamenki oblikovati različite brojeve, koristit ćemo formulu permutacije. Stoga imamo:
Mogući događaji:
Stoga s 5 znamenki možemo pronaći 120 različitih brojeva.
Da bismo izračunali vjerojatnost, još uvijek moramo pronaći broj povoljnih događaja koji, u ovom slučaju, je pronaći broj djeljiv sa 2, što će se dogoditi kada zadnja znamenka broja bude 2 ili 4.
Uzimajući u obzir da za posljednju poziciju imamo samo ove dvije mogućnosti, tada ćemo morati zamijeniti ostala 4 mjesta koja čine broj, poput ove:
Povoljni događaji:
Vjerojatnost će se pronaći na način da:
Pročitajte i vi:
- Pascalov trokut
- Kompleksni brojevi
- Matematika u neprijatelju
Vježba riješena
1) JKP / RJ - 2013
Ako je a = 2n + 1 s n ∈ {1, 2, 3, 4}, tada je vjerojatnost broja The biti par je
do 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Dok u izraz za broj a zamjenjujemo svaku moguću vrijednost n, primjećujemo da će rezultat uvijek biti neparan broj.
Stoga je "biti paran broj" nemoguć događaj. U ovom je slučaju vjerojatnost jednaka nuli.
Alternativa: e) 0
2) UPE - 2013
U grupi tečaja španjolskog troje ljudi namjerava raditi program razmjene u Čileu, a sedam u Španjolskoj. Među ovih deset ljudi izabrano je dvoje za intervju koji će prikupljati stipendije za studiranje u inozemstvu. Vjerojatnost da ovo dvoje odabranih ljudi pripada skupini onih koji namjeravaju obaviti razmjenu u Čileu je
Prvo, pronađimo broj mogućih situacija. Kako izbor dvoje ljudi ne ovisi o redoslijedu, upotrijebit ćemo kombinacijsku formulu za određivanje broja mogućih slučajeva, tj.:
Dakle, postoji 45 načina za odabir 2 osobe iz grupe od 10 ljudi.
Sada moramo izračunati broj povoljnih događaja, odnosno dvoje izvučenih ljudi žele obaviti razmjenu u Čileu. Ponovno ćemo upotrijebiti formulu kombinacije:
Dakle, postoje 3 načina da odaberete 2 osobe od 3 koje žele studirati u Čileu.
S pronađenim vrijednostima možemo izračunati traženu vjerojatnost zamjenom u formuli:
Alternativa: b)
Pročitajte više o nekim srodnim temama:
- Newtonov binom
- Vježbe vjerojatnosti (lako)
- Vježbe vjerojatnosti
- Statistički
- Statistika - vježbe
- Matematičke formule
