PA i PG: sažetak, formule i vježbe

THE aritmetička progresija - PA je niz vrijednosti koji ima stalnu razliku između uzastopnih brojeva.

THE geometrijska progresija - PG predstavlja brojeve s istim količnikom pri dijeljenju dva uzastopna članaka.

Dok se u aritmetičkoj progresiji pojmovi dobivaju dodavanjem razlike zajedničke prethodniku, pojmovi a geometrijske progresije nalaze se množenjem omjera s posljednjim brojem u nizu, čime se dobiva pojam nasljednik.

Ispod je sažetak dviju vrsta progresija.

Aritmetička progresija (AP)

Aritmetička progresija je niz koji čine termini koji se međusobno razlikuju konstantnom vrijednošću, koja se naziva omjer, izračunava se prema:

Gdje,

r je razlog BP;
The₂ je drugi pojam;
The₁ je prvi termin.

Stoga se izrazi aritmetičke progresije mogu zapisati kako slijedi:

Imajte na umu da u PA od Ne izrazi formulu općeg pojma (_Ne) slijeda je:

The_Ne = the₁ + (n - 1) r

Neki su posebni slučajevi: 3-člani AP predstavlja (x - r, x, x + r), a 5-člani AP ima svoje komponente predstavljene sa (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Vrste PA

Prema vrijednosti omjera, aritmetičke progresije klasificiraju se u 3 vrste:

1. Konstantno: kada je omjer jednak nuli, a uvjeti BP jednaki.

Primjer: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), gdje je r = 0

2. Rastući: kada je omjer veći od nule, a član iz drugog veći od prethodnog;

Primjer: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), gdje je r = 2

3. silazni: kada je omjer manji od nule, a pojam iz drugog manji od prethodnog.

Primjer: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), gdje je r = - 2

Aritmetičke progresije i dalje se mogu svrstati u konačan, kada imaju određeni broj pojmova, i beskonačno, odnosno s beskonačnim pojmovima.

Zbroj pojmova PA

Zbroj pojmova aritmetičke progresije izračunava se po formuli:

Gdje, Ne je broj pojmova u nizu, The₁ je prvi pojam i The_Ne je n-ti pojam. Formula je korisna za rješavanje pitanja u kojima je dan prvi i posljednji pojam.

Kada problem ima prvi pojam i razlog BP-a, možete koristiti formulu:

Ove dvije formule koriste se za dodavanje pojmova konačnog BP.

Prosječni rok PA

Da bismo odredili srednju ili središnju vrijednost člana BP s neparnim brojem članaka, izračunavamo aritmetičku sredinu s prvim i posljednjim članom (a₁ i_Ne):

Srednji pojam između tri uzastopna broja PA odgovara aritmetičkoj sredini prethodnika i nasljednika.

Riješeni primjer

S obzirom na PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) odredite omjer, srednji pojam i zbroj pojmova.

1. PA razlog

2. srednjoročno

3. zbroj pojmova

Nauči više o aritmetička progresija.

Geometrijska progresija (PG)

Geometrijska progresija nastaje kada niz ima faktor množitelja koji nastaje dijeljenjem dva uzastopna člana, koji se nazivaju zajednički omjer, a koji se izračunava pomoću:

Gdje,

što je razlog za PG;
The₂ je drugi pojam;
The₁ je prvi termin.

Geometrijska progresija Ne pojmovi se mogu predstaviti na sljedeći način:

Biće The₁ prvi pojam, opći pojam PG izračunava se pomoću The₁.q^(Ne-1).

Vrste PG

Prema vrijednosti omjera (q), geometrijske progresije možemo klasificirati u 4 vrste:

1. Rastući: omjer je uvijek pozitivan (q> 0), a uvjeti se povećavaju;

Primjer: PG: (3, 9, 27, 81, ...), gdje je q = 3.

2. silazni: omjer je uvijek pozitivan (q> 0), ne-nula (0), a izrazi se smanjuju;

Primjer: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), gdje je q = 3

3. oscilirajući: razlog je negativan (q

Primjer: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), gdje je q = - 2

4. Konstantno: omjer je uvijek jednak 1, a pojmovi imaju istu vrijednost.

Primjer: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), gdje je q = 1

Zbroj pojmova PG

Zbroj pojmova geometrijske progresije izračunava se po formuli:

Biće The₁ prvi mandat, što uobičajeni razlog i Ne broj pojmova.

Ako je omjer PG manji od 1, tada ćemo koristiti sljedeću formulu za određivanje zbroja pojmova.

Te se formule koriste za konačni PG. Ako je traženi zbroj beskonačni PG, upotrijebljena formula je:

Prosječni rok PG

Da bi se odredio srednji ili središnji član PG-a s neparnim brojem članaka, izračunavamo geometrijsku sredinu s prvim i posljednjim članom (a₁ i_Ne):

Riješeni primjer

S obzirom na PG (1, 3, 9, 27 i 81) odredite omjer, prosječni pojam i zbroj pojmova.

1. PG razlog

2. srednjoročno

3. zbroj pojmova

Nauči više o geometrijska progresija.

Sažetak formula PA i PG

aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Razlog
opći pojam
srednjoročno
konačna suma
beskonačna suma

Nauči više o brojevne sekvence.

Vježbe na PA i PG

Pitanje 1

Koji je 16. pojam niza koji započinje brojem 3 i ima omjer BP jednak 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Pogledajte Odgovor

Ispravna alternativa: d) 63.

Budući da je omjer PA konstantan, drugi član u nizu možemo pronaći dodavanjem omjera prvom broju.

The₂ = the₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Prema tome, možemo reći da je ovaj niz oblikovan pomoću (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

16. pojam može se izračunati pomoću formule općeg pojma.

The_Ne = the₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Stoga je odgovor na pitanje 63.

pitanje 2

Kakav je omjer šestročnog AP-a čiji zbroj prva tri broja u nizu iznosi 12, a zadnja dva jednaka –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Pogledajte Odgovor

Ispravna alternativa: b) - 6.

Opća formula za izraze aritmetičke progresije je₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Stoga se zbroj prva tri pojma može zapisati kako slijedi:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3.₁ + 3r = 12
3.₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

A zbroj posljednja dva pojma je:

(The₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2.₁ + 9r = - 34

Sada zamjenjujemo₁ po 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Stoga je omjer PG - 6.

pitanje 3

Ako je treći član GP-a 28, a četvrti 56, koji su prvih 5 članaka ove geometrijske progresije?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Pogledajte Odgovor

Točna alternativa: d) 7, 14, 28, 56, 112

Prvo, moramo izračunati omjer ovog PG-a. Za to ćemo upotrijebiti formulu:

The₄ = the₃. što
56 = 28. što
56/28 = q
q = 2

Sada izračunavamo prvih 5 pojmova. Počet ćemo s₁ koristeći formulu općeg pojma.

The_Ne = the₁. što^(n-1)
The₃ = the₁ . što^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Preostali pojmovi mogu se izračunati množenjem prethodnog izraza s omjerom.

The₂ = the₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ = the₄. što
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Stoga je prvih 5 pojmova PG:

1. mandat: 7
2. mandat: 14
3. mandat: 28
4. mandat: 56
5. mandat: 112

Pogledajte i ostale vježbe za nastavak vježbanja:

• Vježbe iz aritmetičke progresije
• Vježbe iz geometrijske progresije