Jedan jednadžba drugog stupnja je cijela jednadžba u obliku sjekira2 + bx + c = 0, sa a, b i c realnim brojevima i a ≠ 0. Da biste riješili jednadžbu ove vrste, možete koristiti različite metode.
Koristite komentirane rezolucije dolje navedenih vježbi da biste očistili sve svoje sumnje. Obavezno provjerite svoje znanje s riješenim natječajnim pitanjima.
Komentirane vježbe
Vježba 1
Dob moje majke pomnožen s mojom dobi je 525. Ako je kad sam se rodila moja majka imala 20 godina, koliko imam godina?
Riješenje
S obzirom na moje godine jednake x, tada možemo smatrati da je dob moje majke jednaka x + 20. Kako onda znati vrijednost proizvoda naše dobi, onda:
x. (x + 20) = 525
Primjena na distributivna svojstva množenja:
x2 + 20 x - 525 = 0
Zatim dolazimo do potpune jednadžbe 2. stupnja, s a = 1, b = 20 i c = - 525.
Da bismo izračunali korijene jednadžbe, odnosno vrijednosti x gdje je jednadžba jednaka nuli, poslužimo se Bhaskarinom formulom.
Prvo moramo izračunati vrijednost ∆:
Za izračunavanje korijena koristimo:
Zamjenom vrijednosti u gornjoj formuli pronaći ćemo korijene jednadžbe, ovako:
Kako moje godine ne mogu biti negativne, preziremo vrijednost -35. Dakle, rezultat je 15 godina.
Vježba 2
Kvadrat, prikazan na donjoj slici, ima pravokutni oblik i površina mu je jednaka 1 350 m2. Znajući da njegova širina odgovara 3/2 visine, odredite dimenzije kvadrata.
Riješenje
S obzirom da je njegova visina jednaka x, tada će širina biti jednaka 3 / 2x. Površina pravokutnika izračunava se množenjem njegove baze s vrijednošću visine. U ovom slučaju imamo:
Dolazimo do nepotpune jednadžbe 2. stupnja, s a = 3/2, b = 0 i c = - 1350, možemo izračunati ovu vrstu jednadžbe izolirajući x i izračunavajući vrijednost kvadratnog korijena.
Kako vrijednost x predstavlja mjeru visine, zanemarit ćemo - 30. Dakle, visina pravokutnika jednaka je 30 m. Da bismo izračunali širinu, pomnožimo ovu vrijednost s 3/2:
Stoga je kvadratna širina jednaka 45 m a visina mu je jednaka 30 m.
Vježba 3
Dakle, x = 1 je korijen jednadžbe 2ax2 + (2.2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, vrijednosti a trebale bi biti:
a) 3 i 2
b) - 1 i 1
c) 2 i - 3
d) 0 i 2
e) - 3 i - 2
Riješenje
Da bismo pronašli vrijednost a, prvo zamijenimo x s 1. Ovako će jednadžba izgledati ovako:
2.a.12 + (2.2 - do - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2. + 2.2 - do - 4 - 2 - do2 = 0
The2 + do - 6 = 0
Sada moramo izračunati korijen potpune jednadžbe 2. stupnja, za to ćemo upotrijebiti Bhaskarinu formulu.
Stoga je ispravna alternativa slovo C.
Pitanja za natjecanje
1) Epcar - 2017
Razmotrimo u ℝ jednadžbu (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 u varijabli x, gdje m je stvarni broj koji nije - 2.
Pregledajte dolje navedene izjave i ocijenite ih V (TRUE) ili F (FALSE).
() Za sve m> 2 jednadžba ima prazan skup rješenja.
() Postoje dvije stvarne vrijednosti m da bi jednadžba priznala jednake korijene.
() U jednadžbi, ako je ∆> 0, tada m može poprimiti samo pozitivne vrijednosti.
Ispravan slijed je
a) V - V - V
b) Ž - V - Ž
c) Ž - Ž - V
d) V - Ž - Ž
Pogledajmo svaku od izjava:
Za sve m> 2 jednadžba ima prazan skup rješenja
Budući da je jednadžba drugog stupnja u ℝ, neće imati rješenja kad je delta manja od nule. Izračunavajući ovu vrijednost imamo:
Dakle, prva je tvrdnja istinita.
Postoje dvije stvarne vrijednosti m da bi jednadžba priznala jednake korijene.
Jednadžba će imati jednake stvarne korijene kada je Δ = 0, to jest:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Stoga je izjava netačna jer postoji samo jedna vrijednost m gdje su korijeni stvarni i jednaki.
U jednadžbi, ako je ∆> 0, tada m može poprimiti samo pozitivne vrijednosti.
Za Δ> 0 imamo:
Budući da u skupu beskonačnih realnih brojeva ima negativnih brojeva manjih od 2, tvrdnja je također lažna.
Alternativa d: V-Ž-Ž
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura mora riješiti jednadžbu 2. stupnja u "kući", ali shvaća da je prilikom kopiranja s ploče u bilježnicu zaboravila kopirati koeficijent x. Da bi riješio jednadžbu, zabilježio ju je na sljedeći način: 4x2 + sjekira + 9 = 0. Budući da je znala da jednadžba ima samo jedno rješenje, a ovo je pozitivno, uspjela je odrediti vrijednost a, što je
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Kada jednadžba 2. stupnja ima jedno rješenje, delta, iz Bhaskarine formule, jednaka je nuli. Da bismo pronašli vrijednost The, samo izračunajte deltu, izjednačujući njezinu vrijednost s nulom.
Dakle, ako je a = 12 ili a = - 12 jednadžba će imati samo jedan korijen. Međutim, još uvijek moramo provjeriti koja od vrijednosti The rezultat će biti pozitivan korijen.
Za to, pronađimo korijen, za vrijednosti od The.
Dakle, za a = -12 jednadžba će imati samo jedan korijen i pozitiv.
Alternativa b: -12
3) Enem - 2016
Tunel mora biti zapečaćen betonskim pokrovom. Presjek tunela i betonski pokrov imaju konture luka parabole i iste dimenzije. Da bi odredio cijenu posla, inženjer mora izračunati površinu ispod dotičnog paraboličnog luka. Koristeći vodoravnu os u razini tla i os simetrije parabole kao vertikalnu os, dobio je sljedeću jednadžbu za parabolu:
y = 9 - x2, gdje se x i y mjere u metrima.
Poznato je da je površina pod parabolom poput ove jednaka 2/3 površine pravokutnika čije su dimenzije jednake osnovi i visini ulaza u tunel.
Kolika je površina prednje strane betonskog pokrova, u kvadratnim metrima?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Da bismo riješili ovaj problem, moramo pronaći mjerenja baze i visine ulaza u tunel, kao problem nam govori da je površina prednje strane jednaka 2/3 površine pravokutnika s tim dimenzijama.
Te će se vrijednosti pronaći iz dane jednadžbe 2. stupnja. Parabola ove jednadžbe ima udubljenost okrenuta prema dolje, jer je koeficijent The je negativan. Ispod je obris ove prispodobe.
Iz grafa možemo vidjeti da će se mjera baze tunela naći izračunavanjem korijena jednadžbe. Već će njegova visina biti jednaka mjeri vrha.
Da bismo izračunali korijene, uočavamo da je jednadžba 9 - x2 je nepotpun, pa njegove korijene možemo pronaći izjednačavanjem jednadžbe s nulom i izoliranjem x:
Stoga će mjerenje baze tunela biti jednako 6 m, odnosno udaljenost između dva korijena (-3 i 3).
Gledajući graf, vidimo da točka vrha odgovara vrijednosti na y osi da je x jednako nuli, pa imamo:
Sad kad znamo mjerenja baze i visine tunela, možemo izračunati njegovu površinu:
Alternativa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Za koju vrijednost "a" jednadžba (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 ima dva korijena i jednaka?
do 1
b) 0
c) 1
d) 2
Da bi jednadžba 2. stupnja imala dva jednaka korijena, potrebno je da je Δ = 0, to jest b2-4ac = 0. Prije izračunavanja delte moramo napisati jednadžbu u obliku ax2 + bx + c = 0.
Možemo započeti primjenom distributivnog svojstva. Međutim, napominjemo da se (x - 2) ponavlja u oba termina, pa stavimo to na uvid:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (os -2) = 0
Sada, distribuirajući proizvod, imamo:
sjekira2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Izračunavanjem Δ i jednakom nuli nalazimo:
Dakle, kada je a = 1, jednadžba će imati dva jednaka korijena.
Alternativa c: 1
Da biste saznali više, pogledajte također:
- Jednadžba drugog stupnja
- Jednadžba prvog stupnja
- Kvadratna funkcija
- Kvadratna funkcija - vježbe
- Linearna funkcija
- Vježbe povezane funkcije
