U matematici skupovi predstavljaju skup različitih predmeta, a operacije izvedene sa skupovima su: unija, presjek i razlika.
Upotrijebite 10 pitanja u nastavku da biste provjerili svoje znanje. Upotrijebite komentirane rezolucije da biste očistili svoje sumnje.
Pitanje 1
Razmotrite skupove
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Ispravno je reći da:
a) A B
b) The B
c) B THE
d) B THE
Ispravna alternativa: b) A B.
a) POGREŠNO. Postoje elementi B koji ne pripadaju skupu A. Stoga ne možemo reći da A sadrži B. Ispravna bi izjava bila B THE.
b) TOČNO. Imajte na umu da su svi elementi A također elementi B. Stoga možemo reći da je A sadržan u B, A je dio B ili da je A podskup B.
c) POGREŠNO. Ne postoji element A koji ne pripada skupu B. Stoga ne možemo reći da B ne sadrži A.
d) POGREŠNO. Budući da je A podskup B, tada je presjek skupova A i B sam skup A: B A = A
pitanje 2
Pogledajte sljedeće setove i označite ispravnu alternativu.
A = {x | x je pozitivni višekratnik 4}
B = {x | x je paran broj i 4 x
16}
a) 145 THE
b) 26 A i B
c) 11 B
d) 12 A i B
Ispravna alternativa: d) 12 A i B
Skupovi pitanja predstavljeni su njihovim zakonima o formiranju. Dakle, skup A nastaje pozitivnim višekratnicima 4, to jest A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}, a skup B okuplja parne brojeve veće ili jednake 4 i manje od 16. Prema tome, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Analizirajući alternative, imamo:
a) POGREŠNO. 145 je broj koji završava s 5 i stoga je višekratnik 5.
b) POGREŠNO. 26, iako je paran broj, veći je od 16 i, prema tome, nije dio skupa B.
c) POGREŠNO. 11 nije paran broj, već prost broj, odnosno djeljiv je samo s 1 i samim sobom.
d) TOČNO. 12 pripada skupovima A i B jer je višekratnik 4 i paran je broj veći od 4, a manji od 16.
pitanje 3
Koji je mogući zakon tvorbe skupa A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x | x je simetrični broj i 2 b) A = {x | x je prost broj i 1 c) A = {x | x je pozitivan neparan broj i 1 d) A = {x | x je prirodni broj manji od 10}
Točna alternativa: b) A = {x | x je prost broj i 1
a) POGREŠNO. Simetrični brojevi, koji se nazivaju i suprotnosti, pojavljuju se na istoj udaljenosti na brojevnoj crti. Na primjer, 2 i - 2 su simetrični.
b) TOČNO. Predstavljeni skup je prostih brojeva, s time da je 2 najmanji postojeći prosti broj i ujedno jedini koji je paran.
c) POGREŠNO. Iako je većina brojeva neparna, u setu postoji broj 2, koji je paran.
d) POGREŠNO. Iako su svi brojevi prirodni, skup sadrži broj 11, koji je veći od 10.
pitanje 4
Unija skupova A = {x | x je prost broj i 1
a) A B = {1,2,3,5,7}
b) The B = {1,2,3,5,7}
c) The B = {1,2,3,5,7}
daje B = {1,2,3,5,7}
Ispravna alternativa: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Za skup A = {x | x je prost broj i 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
a) POGREŠNO. A ne sadrži B, jer element 1 nije dio A.
b) POGREŠNO. A nije sadržan u B, jer element 2 nije dio B.
c) POGREŠNO. A ne pripada B, jer skupovi imaju zaseban element.
d) TOČNO. Unija skupova odgovara spajanju elemenata koji ih čine i predstavljena je simbolom .
Stoga je unija A = {2, 3, 5, 7} i B = {1, 3, 5, 7} A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
5. pitanje
Nacrtajte skupove A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} i C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} u Vennovom dijagramu i zatim odredite:
a) A B
b) C B
c) C - A
d) B (THE
Ç)
Točan odgovor:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} i
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
Distribuirajući elemente skupova u Vennovom dijagramu, imamo:
Pri izvođenju operacija s danim skupovima imamo sljedeće rezultate:
a) A B = {1, 6, 7}
b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (THE
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
pitanje 6
Zabilježite šrafirano područje slike i označite alternativu koja ga predstavlja.
a) C (THE
B)
b) C - (A B)
c) C (A - B)
d) C (THE
B)
Točan odgovor: b) C - (A B)
Imajte na umu da šrafirano područje predstavlja elemente koji ne pripadaju skupovima A i B. Stoga je to razlika između skupova, koju označavamo s (-).
Kako skupovi A i B imaju istu boju, možemo reći da postoji reprezentacija unije skupova, odnosno spajanje elemenata A i B, predstavljeno A B.
Stoga možemo reći da je šrafirano područje razlika C od spoja A i B, odnosno C - (A B).
pitanje 7
U preduniverzitetskom tečaju 600 je učenika upisanih u izolirane predmete. 300 učenika pohađa matematiku, 200 učenika pohađa nastavu portugalskog, a 150 učenika ne pohađa ove predmete.
Uzimajući u obzir studente upisane na tečaj (U), studenti koji pohađaju matematiku (M) i studenti koji pohađaju portugalski jezik (P), utvrđuju:
a) broj učenika matematike ili portugalskog jezika
b) broj učenika matematike i portugalskog jezika
Točan odgovor:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) broj traženih učenika uključuje i matematike i portugalske studente. Stoga moramo pronaći uniju dvaju skupova.
Rezultat se može izračunati oduzimanjem ukupnog broja učenika u školi od broja učenika koji ne polaze ove predmete.
n (M P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) kako je traženi rezultat učenika koji studiraju matematiku i portugalski, moramo pronaći presjek skupova, odnosno elemenata zajedničkih za oba skupa.
Sjecište dva skupa možemo izračunati zbrajanjem broja učenika upisanih u predmete Portugalski i matematika, a zatim oduzimanje broja učenika koji istovremeno studiraju ova dva predmeta vrijeme.
n (M P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
pitanje 8
Numerički skupovi uključuju sljedeće skupove: Naturals (ℕ), Integers (teg), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Real (ℝ) i Complexes (ℂ). Na gore spomenutim skupovima označite definiciju koja odgovara svakom od njih.
1. prirodni brojevi |
() obuhvaća sve brojeve koji se mogu zapisati kao razlomak, s cjelobrojnim brojilom i nazivnikom. |
| 2. cijeli brojevi | () odgovara sjedinjenju racionalnih i iracionalnih. |
| 3. racionalni brojevi | () su decimalni, beskonačni i neperiodični brojevi i ne mogu se predstaviti nesvodivim razlomcima. |
| 4. iracionalni brojevi | () tvore brojevi koje koristimo u brojevima {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...} |
| 5. stvarni brojevi | () uključuje korijene tipa √-n. |
| 6. Složeni brojevi | () okuplja sve elemente prirodnih brojeva i njihove suprotnosti. |
Točan odgovor: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) racionalni brojevi pokriti sve brojeve koji se mogu zapisati kao razlomak, cjelobrojnim brojilom i nazivnikom. Ovaj skup uključuje netačne podjele. ℚ = {x = a / b, s a ∈ ℤ, b ∈ ℤ i b ≠ 0}
(5) stvarni brojevi odgovaraju uniji racionalnih iracionalnih, odnosno = ℚ ∪ I.
(4) iracionalni brojevi oni su decimalni, beskonačni i neperiodični brojevi i ne mogu se predstaviti nesvodivim razlomcima. Brojevi u ovoj skupini proizlaze iz operacija čiji rezultat nije mogao biti zapisan kao razlomak. Na primjer do √ 2.
(1) prirodni brojevi tvore se brojevima koje koristimo u brojanjima ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.
(6) složeni brojevi uključuju korijene tipa √-n, a tako je i produžetak stvarnih brojeva.
(2) cijeli brojevi objediniti sve elemente prirodnih brojeva i njihove suprotnosti. Da bismo mogli riješiti sva oduzimanja, poput 7 - 10, proširen je skup prirodnih podataka, čime se pojavio skup cijelih brojeva. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
pitanje 9
(Prilagođeno UNB-u) Od 200 ljudi koji su anketirani o svojim preferencijama u gledanju trkačkih prvenstava na televiziji, prikupljeni su sljedeći podaci:
- 55 ispitanika ne gleda;
- 101 sat utrke Formule 1;
- 27 gledati utrke Formule 1 i motocikala;
Koliko intervjuiranih ljudi gleda isključivo moto utrke?
a) 32
b) 44
c) 56
d) 28
Točan odgovor: b) 44.
Korak 1: Odredite ukupan broj ljudi koji gleda utrke
Za to samo trebamo oduzeti ukupan broj ispitanika od onih koji su izjavili da neće sudjelovati na trkaćim prvenstvima.
200 - 55 = 145 ljudi
2. korak: izračunajte broj ljudi koji gledaju samo moto utrke
74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Oduzimajući vrijednost x od presjeka dvaju skupova, nalazimo broj ispitanika koji gledaju samo utrke brzine motocikala.
71 - 27 = 44
pitanje 10
(UEL-PR) U određeno su vrijeme tri TV kanala u svom programu imale sapunice u udarnom terminu: sapunica A na kanalu A, sapunica B na kanalu B i sapunica C na kanalu C. U anketi od 3000 ljudi postavljeno je pitanje koje sapunice vole. Tablica u nastavku prikazuje broj gledatelja koji su sapunice označili kao ugodne.
| Sapunice | Broj gledatelja |
| THE | 1450 |
| B | 1150 |
| Ç | 900 |
| A i B | 350 |
| A i C | 400 |
| B i C | 300 |
| A, B i C | 100 |
Koliko intervjuiranih gledatelja nijedna od tri sapunice ne smatra ugodnom?
a) 300 gledatelja.
b) 370 gledatelja.
c) 450 gledatelja.
d) 470 gledatelja.
e) 500 gledatelja.
Točan odgovor: c) 450 gledatelja.
Postoji 450 gledatelja kojima nijedna od tri telenovele nije ugodna.
Saznajte više konzultirajući sljedeće tekstove:
- Teorija skupova
- Operacije sa setovima
- Numerički skupovi
- Vježbe na numeričkim skupovima