Mmc i mdc predstavljaju najmanji zajednički višekratnik, a najveći zajednički djelitelj između dva ili više brojeva.
Ne propustite priliku razjasniti sve svoje sumnje kroz komentirane i riješene vježbe koje donosimo u nastavku.
Predložene vježbe
Vježba 1
U odnosu na brojeve 12 i 18, odredite bez razmatranja 1.
a) Razdjelnici 12.
b) Razdjelnici 18.
c) Zajednički razdjelnici 12 i 18.
d) Najveći zajednički djelitelj 12 i 18.
a) 2, 3, 4, 6 i 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 i 6
d) 6
Vježba 2
Izračunajte MMC i MDC između 36 i 44.
Vježba 3
Uzmimo u obzir broj x, prirodan. Zatim klasificirajte izjave kao istinite ili lažne i opravdajte ih.
a) Najveći zajednički djelitelj 24 i x može biti 7.
b) Najveći zajednički djelitelj 55 i 15 može biti 5.
a) Ne, jer 7 nije djelitelj 24.
b) Da, budući da je 5 zajednički djelitelj između 55 i 15.
Vježba 4
U prezentaciji za lansiranje novog trkaćeg automobila ekipe TodaMatéria održana je neobična utrka. Sudjelovala su tri vozila: lansirni automobil, prošlosezonski automobil i redovni osobni automobil.
Krug je ovalni, trojica su krenula zajedno i održavala konstantne brzine. Lansiranju treba 6 minuta da završi krug. Automobilu prošle sezone treba 9 minuta da završi jedan krug, a putničkom 18 minuta.
Nakon početka utrke, koliko će im trebati da opet prođu kroz isto polazište?
Da bi se utvrdilo potrebno je izračunati mmc (6, 9, 18).
Tako su opet prošli isto polazište 18 minuta kasnije.
Vježba 5
U jednoj konfekciji nalaze se kolutovi mrežice veličine 120, 180 i 240 centimetara. Trebat ćete izrezati tkaninu na jednake komade, što veće, i ništa više neće ostati. Kolika će biti maksimalna duljina svake mrežaste trake?
Da bismo odredili, moramo izračunati mdc (120,180,240).
Najduža moguća duljina, bez prevjesa, bit će 60 cm.
Vježba 6
Odredite MMC i MDC iz sljedećih brojeva.
a) 40 i 64
Točan odgovor: mmc = 320 i mdc = 8.
Da bi se pronašli mmc i mdc, najbrža metoda je dijeljenje brojeva istovremeno s najmanjim mogućim prostim brojevima. Pogledaj ispod.
Imajte na umu da se mmc izračunava množenjem brojeva koji se koriste u faktoringu, a gcd množenjem brojeva koji dijele dva broja istovremeno.
b) 80, 100 i 120
Točan odgovor: mmc = 1200 i mdc = 20.
Istodobna dekompozicija tri broja dobit će mmc i mdc prikazanih vrijednosti. Pogledaj ispod.
Podjela s prostim brojevima dala nam je rezultat mmc množenjem faktora i mdc množenjem faktora koji istovremeno dijele tri broja.
Vježba 7
Koristeći prosto faktoriziranje odredite: koja su dva uzastopna broja čiji je mmc 1260?
a) 32 i 33
b) 33 i 34
c) 35 i 36
d) 37 i 38
Ispravna alternativa: c) 35 i 36.
Prvo moramo izračunati broj 1260 i odrediti proste faktore.
Množenjem čimbenika nalazimo da su uzastopni brojevi 35 i 36.
Za dokaz izračunajmo mmc dva broja.
Vježba 8
U povodu proslave Dana učenika održat će se lov na smeće s učenicima triju odjeljenja 6., 7. i 8. razreda. Pogledajte ispod broj učenika u svakom razredu.
| Razred | 6º | 7º | 8º |
| Broj studenata | 18 | 24 | 36 |
Pomoću MDC-a odredite maksimalan broj učenika u svakom razredu koji mogu sudjelovati u natjecanju kao dio tima.
Nakon toga odgovorite: koliko timova može formirati 6., 7. i 8. razred, s maksimalnim brojem sudionika po timu?
a) 3, 4 i 5
b) 4, 5 i 6
c) 2, 3 i 4
d) 3, 4 i 6
Ispravna alternativa: d) 3, 4 i 6.
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo započeti s množenjem zadanih vrijednosti u proste brojeve.
Stoga smo pronašli maksimalan broj učenika po timu i na taj će način svaki razred imati:
6. godina: 6/18 = 3 ekipe
7. godina: 6/24 = 4 momčadi
8. godina: 36/6 = 6 momčadi
Riješeni prijemni ispiti
Pitanje 1
(Apprentice Sailor - 2016) Neka su A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) i y = mdc (A, B), tada je vrijednost x + y jednaka:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Ispravna alternativa: d) 520.
Da bi se pronašla vrijednost zbroja x i y, prvo je potrebno pronaći te vrijednosti.
Na taj ćemo način brojeve razbrojiti u proste faktore, a zatim izračunati mmc i mdc između danih brojeva.
Sada kada znamo vrijednost x (mmc) i y (mdc), možemo pronaći zbroj:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
pitanje 2
(Unicamp - 2015) Tablica u nastavku daje neke nutritivne vrijednosti za istu količinu dvije hrane, A i B.
Razmotrite dva izokalorična dijela (iste energetske vrijednosti) hrane A i B. Odnos između količine bjelančevina u A i količine bjelančevina u B jednak je
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Ispravna alternativa: c) 8.
Da bismo pronašli izokalorične dijelove hrane A i B, izračunajmo mmc između odgovarajućih energetskih vrijednosti.
Dakle, moramo uzeti u obzir potrebnu količinu svake hrane da bismo dobili kalorijsku vrijednost.
S obzirom na hranu A, da bi imali kalorijsku vrijednost od 240 Kcal, potrebno je početne kalorije pomnožiti sa 4 (60. 4 = 240). Za hranu B potrebno je pomnožiti s 3 (80. 3 = 240).
Tako će se količina bjelančevina u hrani A pomnožiti s 4, a one u hrani B s 3:
Hrana A: 6. 4 = 24 g
Hrana B: 1. 3 = 3 g
Prema tome, odnos između ovih količina dat će se kao:
Alternativa: c) 8
pitanje 3
(UERJ - 2015) U donjoj tablici naznačene su tri mogućnosti raspoređivanja n bilježnica u pakete:
Ako je n manje od 1200, zbroj znamenki najveće vrijednosti n iznosi:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Ispravna alternativa: b) 17.
Uzimajući u obzir vrijednosti prikazane u tablici, imamo sljedeće odnose:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Imajte na umu da ako dodamo 1 knjigu vrijednosti n, u tri situacije više ne bismo imali ostatak jer bismo formirali drugi paket:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Dakle, n + 1 je zajednički višekratnik od 12, 18 i 20, pa ako pronađemo mmc (što je najmanji zajednički višekratnik), odatle možemo pronaći vrijednost n + 1.
Izračunavanje mmc:
Tako će najmanja vrijednost n + 1 biti 180. Međutim, želimo pronaći najveću vrijednost od n manju od 1200. Pa potražimo višestruki koji zadovoljava ove uvjete.
Za to pomnožimo 180 dok ne pronađemo željenu vrijednost:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (ova je vrijednost veća od 1 200)
Tako možemo izračunati vrijednost n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Zbroj njegovih brojki dat će:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
Vidi i ti: MMC i MDC
pitanje 4
(Enem - 2015) Arhitekt obnavlja kuću. Kako bi pridonio okolišu, odlučuje ponovno koristiti drvene daske izvađene iz kuće. Ima 40 dasaka dimenzija 540 cm, 30 s 810 cm i 10 s 1080 cm, sve iste širine i debljine. Zamolio je stolara da daske razreže na komade jednake duljine, bez odlaska ostatke i to tako da su novi komadi bili što veći, ali kraće duljine da 2 m.
Kao odgovor na zahtjev arhitekta, stolar mora proizvesti
a) 105 komada.
b) 120 komada.
c) 210 komada.
d) 243 komada.
e) 420 komada.
Točna alternativa: e) 420 komada.
Kako se traži da dijelovi budu iste dužine i što veći, izračunajmo mdc (maksimalni zajednički djelitelj).
Izračunajmo mdc između 540, 810 i 1080:
Međutim, pronađena vrijednost ne može se koristiti, jer postoji ograničenje duljine manje od 2 m.
Dakle, podijelimo 2,7 s 2, jer će pronađena vrijednost također biti zajednički djelitelj 540, 810 i 1080, jer je 2 najmanji zajednički prosti faktor ovih brojeva.
Tada će duljina svakog komada biti jednaka 1,35 m (2,7: 2). Sada moramo izračunati koliko ćemo komada imati od svake ploče. Za ovo ćemo učiniti:
5,40: 1,35 = 4 komada
8,10: 1,35 = 6 komada
10,80: 1,35 = 8 komada
Uzimajući u obzir količinu svake ploče i zbrajanje, imamo:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 komada
Alternativa: e) 420 komada
5. pitanje
(Enem - 2015.) Voditelj kina godišnje osigurava besplatne karte za škole. Ove godine podijelit će se 400 ulaznica za popodnevni i 320 ulaznica za večernje sesije istog filma. Za dobivanje ulaznica može se odabrati više škola. Postoje neki kriteriji za distribuciju karata:
- svaka škola mora dobiti ulaznice za jednu sesiju;
- sve škole koje ispunjavaju uvjete moraju dobiti jednak broj ulaznica;
- neće biti preostalih ulaznica (tj. sve karte će se distribuirati).
Minimalni broj škola koje se mogu odabrati za dobivanje ulaznica, prema utvrđenim kriterijima, je
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Ispravna alternativa: c) 9.
Da bismo saznali minimalni broj škola, moramo znati maksimalan broj ulaznica koje svaka škola može dobiti, s obzirom na to da taj broj mora biti jednak u obje sesije.
Na taj ćemo način izračunati mdc između 400 i 320:
Pronađena vrijednost mdc predstavlja najveći broj ulaznica koje će dobiti svaka škola, tako da nema ostataka.
Da bismo izračunali minimalni broj škola koje se mogu odabrati, također moramo podijeliti broj ulaznica za svaku sesiju s brojem ulaznica koje će dobiti svaka škola, tako da imamo:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Stoga će minimalni broj škola biti jednak 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
pitanje 6
(Cefet / RJ - 2012) Kolika je vrijednost numeričkog izraza ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Ispravna alternativa: a) 0,2222
Da bi se pronašla vrijednost numeričkog izraza, prvi je korak izračun mmc između nazivnika. Tako:
Pronađeni mmc bit će novi nazivnik razlomaka.
Međutim, da ne bismo promijenili vrijednost razlomka, vrijednost svakog brojnika moramo pomnožiti s rezultatom dijeljenja mmc sa svakim nazivnikom:
Rješavajući zbrajanje i dijeljenje, imamo:
Alternativa: a) 0,2222
pitanje 7
(EPCAR - 2010) Poljoprivrednik će posaditi grah u ravni krevet. Zbog toga je počeo obilježavati mjesta na kojima će saditi sjeme. Donja slika označava točke koje je poljoprivrednik već označio i udaljenosti u cm između njih.
Tada je ovaj poljoprivrednik označio druge točke među postojećim, tako da je udaljenost d među svima njima bio je isti i najveći mogući. ako x predstavlja broj puta udaljenosti d je dobio farmer, dakle x je broj djeljiv sa
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Ispravna alternativa: d) 7.
Da bismo riješili pitanje, moramo pronaći broj koji istovremeno dijeli predstavljene brojeve. Kako se traži da udaljenost bude što je moguće veća, izračunati ćemo mdc između njih.
Na taj će način udaljenost između svake točke biti jednaka 5 cm.
Da bismo pronašli koliko je puta ponovljena ova udaljenost, podijelimo svaki izvorni segment s 5 i dodajte pronađene vrijednosti:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Pronađeni broj djeljiv je sa 7, budući da je 21,7 = 147
Alternativa: d) 7
Vidi i ti: Višekratnici i djelitelji
