THE Karakterizirana je jednadžba 2. stupnja za jednog polinom stupnja 2, odnosno polinom tipa ax2+ bx + c, gdje The, B i ç oni su stvarni brojevi. Kada rješavamo jednadžbu stupnja 2, zanima nas pronalaženje vrijednosti za nepoznato. x što vrijednost izraza čini jednakom 0, koji se nazivaju korijeni, odnosno ax2 + bx + c = 0.
Pročitajte i vi: Razlike između funkcije i jednadžbe
Vrste jednadžbi 2. stupnja
Jednadžba 2. stupnja može biti predstavljen sa ax² + bx + c = 0, gdje su koeficijenti The, B i ç su stvarni brojevi, sa The ≠ 0.
→ Primjeri
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 i c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 i c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 i c = -1
Jednadžba 2. stupnja klasificirana je kao dovršen kada su svi koeficijenti različiti od 0, tj. The ≠ 0, B ≠ 0 i ç ≠ 0.
Jednadžba 2. stupnja klasificirana je kao nepotpun kada je vrijednost koeficijenata B ili ç jednake su 0, odnosno b = 0 ili c = 0.
→ Primjeri
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 i c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 i c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 i c = 0
Glavu gore: vrijednost koeficijenta The nikad nije jednako 0, ako se to dogodi, jednadžba više nije 2. stupanj.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Kako riješiti jednadžbe 2. stupnja?
Rješenje jednadžbe 2. stupnja događa se kada korijenje su pronađene, odnosno vrijednosti dodijeljene x. Ove vrijednosti x mora jednakost učiniti istinitom, to jest zamjenom vrijednosti x u izrazu, rezultat mora biti jednak 0.
→ Primjer
Uzimajući u obzir x jednadžbu2 - 1 = 0 imamo da su x ’= 1 i x’ ’= - 1 rješenja jednadžbe, jer zamjenjujući ove vrijednosti u izrazu, imamo istinsku jednakost. Izgled:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 i (–1)2 – 1 = 0
Da bi se pronašlo rješenje a jednadžba, potrebno je analizirati je li jednadžba cjelovita i nepotpuna te odabrati koja će se metoda koristiti.
Metoda rješenja za jednadžbe tipa sjekira²+ c = 0
Metoda za određivanje rješenja nepotpunih jednadžbi koje imaju B=0sastoji se od izoliranja nepoznatog x, Tako:
→ Primjer
Pronađite korijene jednadžbe 3x2 – 27 = 0.
Ako želite znati više o ovoj metodi, idite na: Nepotpuna jednadžba 2. stupnja s nulim koeficijentom b.
Metoda rješenja za jednadžbe tipa sjekira2 + bx = 0
Metoda za određivanje mogućih rješenja jednadžbe sa ç = 0, sastoji se od korištenja faktoring dokaza. Izgled:
sjekira2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Kada se gleda posljednja jednakost, uočljivo je da postoji množenje i da je rezultat 0, potrebno je da barem jedan od čimbenika bude jednak 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 ili sjekira + b = 0
Dakle, rješenje jednadžbe daje:
→ Primjer
Odredi rješenje jednadžbe 5x2 - 45x = 0
Ako želite znati više o ovoj metodi, idite na: nepotpuna jednadžba 2. stupnja s nulim koeficijentom c.
Metoda rješenja za cjelovite jednadžbe
Metoda poznata kao Bhaskara metoda ili Bhaskara formula ističe da korijeni jednadžbe 2. stupnja tipa ax2 + bx + c = 0 daje se sljedećim odnosom:
→ Primjer
Odredi rješenje jednadžbe x2 - x - 12 = 0.
Imajte na umu da su koeficijenti u jednadžbi: a = 1; B= - 1 i ç = – 12. Zamjenjujući ove vrijednosti u Bhaskarinoj formuli, imamo:
Delta (Δ) je dobila ime po diskriminirajući i primijetite da je unutar a korijen i, kao što znamo, uzimajući u obzir stvarne brojeve, nije moguće izvući kvadratni korijen negativnog broja.
Znajući vrijednost diskriminanta, možemo dati nekoliko izjava o rješenju jednadžbe 2. stupnja:
→ pozitivna diskriminanta (Δ> 0): dva rješenja jednadžbe;
→ diskriminanta jednaka nuli (Δ = 0): ponavljaju se rješenja jednadžbe;
→ negativni diskriminanti (Δ <0): ne priznaje pravo rješenje.
Sustavi jednadžbi drugog stupnja
Kada istovremeno razmatramo dvije ili više jednadžbi, imamo a sustav jednadžbi. Rješenje sustava s dvije varijable je skup uređenih parova koja istovremeno zadovoljava sve uključene jednadžbe.
→ Primjer
Razmotrite sustav:
S vrijednostima: x ’= 2, x’ ’= - 2 i y’ = 2, y ’’ = - 2 možemo sastaviti uređene parove koji istovremeno zadovoljavaju jednadžbe sustava. Vidi: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Sjetimo se da je poredani par napisan u obliku (x, y).
Metode pronalaženja rješenja sustava jednadžbi slične su onima iz linearni sustavi.
→ Primjer
Razmotrite sustav:
Iz jednadžbe x - y = 0, izolirajmo nepoznato x, Tako:
x - y = 0
x = y
Sada moramo zamijeniti izoliranu vrijednost u drugu jednadžbu, ovako:
x2 - x –12 = 0
g2 - y –12 = 0
Koristeći Bhaskara-inu metodu, moramo:
Budući da je x = y, imat ćemo x ’= y’ i x ’’ = y ’’. Tj .:
x ’= 4
x ’’ = -3
Dakle, uređeni parovi su rješenja sustava (4, 4) i (- 3, - 3).
Čitaj više: Sustav jednadžbi 1. i 2. stupnja
riješene vježbe
Pitanje 1 - (ESPM -SP) Rješenja donje jednadžbe su dva broja
a) rođaci.
b) pozitivna.
c) negativan.
d) parovi.
e) neparni.
Riješenje
Znamo da nazivnici razlomka ne mogu biti jednaki nuli, pa je x ≠ 1 i x ≠ 3. A budući da imamo jednakost razlomaka, možemo se višestruko množiti, dobivajući:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Podijelivši obje strane jednadžbe s 2, imamo:
x2 - 4x - 5 = 0
Korištenjem Bhaskarine formule slijedi da:
Imajte na umu da su korijeni jednadžbe neparni brojevi.
Alternativa e.
pitanje 2 - (UFPI) Uzgajivač peradi otkrio je da bi nakon postavljanja (n +2) ptica u svaku od n dostupnih volijera ostala samo jedna ptica. Ukupan broj ptica, za bilo koju prirodnu vrijednost n, uvijek je
a) paran broj.
b) neparan broj.
c) savršeni kvadrat.
d) broj djeljiv s 3.
e) prost broj.
Riješenje
Broj ptica možemo pronaći množenjem broja volijera brojem ptica smještenih u svakoj od njih. od njih, prema izjavi vježbe nakon izvođenja ovog postupka ostala je još jedna ptica, sve to možemo napisati u nastavku način:
n · (n + 2) +1
Izvođenjem distributivnosti dobit ćemo:
Ne2 + 2n +1
A uzimajući u obzir ovaj polinom slijedi da:
(n + 1)2
Dakle, ukupan broj ptica uvijek je savršen kvadrat za bilo koji prirodni broj n.
Alternativa C
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
