Razmotrite polinomna jednadžba ispod gdje su svi koeficijenti TheNesu cijeli brojevi:
TheNexNe + then-1xn-1 + then-2xn-2 +… +2x2 + the1x + a0 = 0
O Teorija racionalnih korijena jamči da ako ova jednadžba priznaje racionalan broj Str/što kao korijen (sa Str
, što 
i mdc (p, q) = 1), onda The0 je djeljivo sa Str i TheNe je djeljivo sa što.
Komentari:
1º) Teorem o racionalnim korijenima ne jamči da polinomna jednadžba ima korijene, ali ako oni postoje, teorem nam omogućuje identificiranje svi korijeni jednadžbe;
2º) ako TheNe= 1 a ostali su koeficijenti cijeli brojevi, jednadžba ima samo cjelobrojne korijene.
3°) ako q = 1 a postoje racionalni korijeni, to su cjelina i dijelitelji The0.
Primjena teorema o racionalnim korijenima:
Upotrijebimo teorem da pronađemo sve korijene polinomne jednadžbe 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Prvo, idemo identificirati moguće racionalne korijene ove jednadžbe, odnosno korijene oblika Str/što. Prema teoremu, The0 je djeljivo sa P; na ovaj način, kako The0 = 12, zatim moguće vrijednosti
Str su {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogno tome moramo TheNe je djeljivo sa što i TheNe = 2, zatim što mogu imati sljedeće vrijednosti: {± 1, ± 2}. Stoga se dijeljenjem vrijednosti Str po što, dobivamo moguće vrijednosti Str/što korijeni jednadžbe: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Da bismo potvrdili da su vrijednosti koje smo pronašli zaista korijen polinomne jednadžbe, zamijenimo svaku vrijednost umjesto x jednadžbe. Kroz algebarski račun, ako polinom rezultira nula, pa je supstituirani broj zapravo korijen jednadžbe.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Za x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Za x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Za x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Za x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Za x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Za x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Za x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Za x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Za x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Za x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Za x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Za x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Za x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Za x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Za x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Za x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Stoga su korijeni polinomne jednadžbe 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 oni su {– 3, – 2, ½, 2}. Kroz teorem dekompozicije polinoma, ovu bismo jednadžbu mogli napisati kao (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Napisala Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku
Želite li uputiti ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Teorija racionalnih korijena"; Brazil škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Pristupljeno 28. lipnja 2021.
