O Pascalov trokut to je prilično stari matematički alat. Kroz povijest je dobio nekoliko imena, ali danas su najviše usvojena aritmetički trokut i Pascalov trokut. Drugo ime je priznanje matematičaru koji je dao nekoliko doprinosa proučavanju ovog trokuta. znači da je trokut izumio on, ali on je taj koji je dublje proučio ovo alat.
Iz svojstava Pascalovog trokuta moguće ga je logički konstruirati. Također se ističe vaš veza sa kombinacije studirao u kombinatornoj analizi. Izrazi Pascalovog trokuta također odgovaraju binomnim koeficijentima i stoga je vrlo koristan za izračunavanje bilo kojeg Newtonova binoma.
Pročitajte i vi: Briot-Ruffinijev uređaj - metoda za dijeljenje polinoma
Izgradnja Pascalovog trokuta
Pascalov trokut proizveden je iz rezultata kombinacija, međutim postoji praktična metoda koja olakšava način njezine izgradnje. Prvi redak i prvi stupac računaju se kao nula reda i nula stupca. Možemo upotrijebiti onoliko linija koliko je potrebno u ovoj konstrukciji, stoga trokut može imati beskonačne crte. Obrazloženje razrade linija uvijek je isto. Izgled:
Mi to znamo pojmovi trokuta su kombinacije, studirao u kombinatorna analiza. Za zamjenu Pascalovog trokuta numeričkim vrijednostima znamo da su kombinacije broja s nulom i broja sa sobom uvijek jednake 1. Stoga su prva i zadnja vrijednost uvijek 1.
Da bismo pronašli ostale, započinjemo s linijom 2, jer su linija 0 i 1 već završene. U retku 2, da bismo pronašli kombinaciju 2 do 1, u gornjem retku, odnosno u retku 1, dodajte izraz iznad njega u isti stupac i izraz iznad njega u prethodni stupac, kao što je prikazano na slici :
Nakon izgradnje linije 2, moguće je izgraditi liniju 3 izvodeći isti postupak.
Nastavljajući ovaj postupak, pronaći ćemo sve pojmove - u ovom slučaju, do retka 5 - ali moguće je izgraditi onoliko linija koliko je potrebno.
Svojstva Pascalova trokuta
Tamo su neke svojstva Pascalovog trokuta, zbog pravilnosti u njegovoj izradi. Ta su svojstva korisna za rad s kombinacijama, samu izradu linija trokuta i zbroj linija, stupaca i dijagonala.
1. svojstvo
Prvo je svojstvo bilo ono koje smo koristili za izgradnju trokuta. Tako da pronaći pojam u Pascalovom trokutu, samo dodajte izraz koji je u redu iznad njega i isti stupac s izrazom koji je u stupcu i redak ispred njega. Ovo svojstvo može se predstaviti na sljedeći način:
Ovo je svojstvo poznato kao Stifelova veza a važno je olakšati izgradnju trokuta i pronaći vrijednosti svake od linija.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
2. svojstvo
Zbroj svih pojmova u nizu izračunava se prema:
sNe=2Ne, na što Ne je broj retka.
Primjeri:
S ovom je nekretninom moguće znati zbroj svih pojmova na liniji a da ne mora nužno konstruirati Pascalov trokut. Zbroj retka 10, na primjer, može se izračunati s 210 = 1024. Iako nisu poznati svi pojmovi, već je moguće znati zbroj vrijednosti cijelog retka.
3. svojstvo
Zbroj pojmova koji slijede s početka određenog stupca Str do određene linije Ne je isti kao pojam na liniji n +1 leđa i stupac p +1 kasnije, kao što je prikazano u nastavku:
4. svojstvo
Zbroj dijagonale koja započinje u stupcu 0 i ide do pojma u stupcu p i retku n jednak je pojmu u istom stupcu (p), ali u retku ispod (n + 1), kao što je prikazano na slici :
5. svojstvo
U linijama Pascalovog trokuta postoji simetrija. Prvi i drugi pojam su jednaki, drugi i pretposljednji su jednaki itd.
Primjer:
6. redak: 1615 20 156 1.
Imajte na umu da su pojmovi jednaki dva do dva, osim središnjeg pojma.
Pogledajte i: Polinomna podjela: kako to riješiti?
Newtonov binom
Definiramo Newtonov binom a snaga jednog polinom koja ima dva pojma. Izračun binoma povezan je s Pascalovim trokutom, koji postaje mehanizam za izračunavanje onoga što nazivamo binomnim koeficijentima. Za izračunavanje binoma koristimo sljedeću formulu:
Imajte na umu da je vrijednost eksponenta The smanjuje se sve dok u posljednjem roku nije jednak The0. Znamo da je svaki broj povišen na 0 jednak 1, pa je pojam The se ne pojavljuje u posljednjem terminu. Također imajte na umu da je eksponent B počinje sa B0, uskoro B se ne pojavljuje u prvom terminu i povećava se dok ne dosegne BNe, u prošlom mandatu.
Nadalje, broj koji prati svaki pojam je ono što nazivamo koeficijentom - u ovom slučaju poznatim kao binomni koeficijent. Da biste bolje razumjeli kako riješiti ovu vrstu binoma, pristupite našem tekstu: Newtonov binom.
binomni koeficijent
Binomni koeficijent nije ništa drugo do kombinacija koja se može izračunati pomoću formule:
Međutim, kako bi se olakšao izračun Newtonovog binoma, bitno je koristiti Pascalov trokut jer nam brže daje rezultat kombinacije.
Primjer:
Da bismo pronašli rezultat binomnog koeficijenta, pronađimo vrijednosti retka 5 Pascalovog trokuta koje su {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3g2+ 10x2g3 + 5xy4+ 1 god5
Jednostavno rečeno:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3g2+ 10x2g3 + 5xy4+ god5
riješene vježbe
Pitanje 1 - Vrijednost izraza u nastavku je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Razlučivost
Alternativa A.
Pregrupirajući pozitivne i negativne vrijednosti, moramo:
Imajte na umu da zapravo izračunavamo oduzimanje između retka 4 i retka 3 Pascalovog trokuta. Po svojstvu znamo da:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Pitanje 2 - Koja je vrijednost izraza u nastavku?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Razlučivost
Alternativa B.
Imajte na umu da pojmove iz stupca 1 Pascalovog trokuta dodajemo u red 7, a zatim u 3 vrijednost ovog zbroja jednaka je pojmu koji zauzima redak 7 + 1 i stupac 1 + 1, odnosno redak 8, stupac 2. Budući da želimo samo jednu vrijednost, konstruiranje cijelog Pascalovog trokuta nije prikladno.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
