Riješiti sustavimalinearno to je vrlo ponavljajući zadatak za studije u poljima prirodnih znanosti i matematike. Potraga za nepoznatim vrijednostima dovela je do razvoja metoda za rješavanje linearnih sustava, poput metode zbrajanja, jednakosti i supstitucije za sustave koji imaju dvije jednadžbe i dvije nepoznanice, i Crammerovo pravilo i skaliranje, koji rješavaju linearne sustave dviju jednadžbi, ali koji su prikladniji za sustave s više jednadžbi. Linearni sustav je skup dviju ili više jednadžbi s jednom ili više nepoznanica.
Pročitajte i vi:Kakav je odnos između matrica i linearnih sustava?
Linearna jednadžba
Rad s jednadžbama postoji zbog treba pronaći nepoznate nepoznate vrijednosti. Jednadžbom ga nazivamo kada imamo algebarski izraz s jednakošću, a klasificira se kao linearni kada je najveći eksponent njegovih nepoznanica 1, kao što je prikazano u sljedećim primjerima:
2x + y = 7 → linearna jednadžba s dvije nepoznanice
a + 4 = -3 → linearna jednadžba s jednom nepoznatom
Općenito govoreći, linearna se jednadžba može opisati na sljedeći način:
The1x1 + the2x2 + a3x3... + aNexNe = c
Kao sustav jednadžbi znamo kada postoji više od jedne linearne jednadžbe. Krenut ćemo s linearnim sustavima dviju nepoznanica.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Rješavanje linearnih sustava
Linearni sustavi s dvije jednadžbe 1. stupnja i dvije nepoznanice
Da bi se riješio sustav dviju jednadžbi i dvije nepoznanice, postoji nekoliko metode, tri najpoznatija su:
- metoda usporedbe
- metoda zbrajanja
- metoda supstitucije
Bilo koja od ove tri može riješiti linearni sustav dviju jednadžbi i dvije nepoznanice. Ove metode nisu toliko učinkoviti za sustave s više jednadžbi, jer postoje i druge specifične metode za njihovo rješavanje.
Zamjenska metoda
Metoda zamjene sastoji se od izolirati jednu od nepoznanica u jednoj od jednadžbi i izvršiti zamjenu u drugoj jednadžbi.
Primjer:
1. korak: izolirati jednu od nepoznanica.
I nazivamo prvom jednadžbom, a II drugom jednadžbom. Analizirajući to dvoje, krenimo odaberite nepoznato koje je najlakše izolirati. Imajte na umu da u jednadžba I → x + 2y = 5, x nema koeficijent, što olakšava izolaciju, pa ćemo prepisati jednadžbu koja mi se sviđa ovako:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2g
2. korak: zamijeniti I u II.
Sad kad imamo jednadžbu I samo s x, u jednadžbi II možemo x zamijeniti s 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Zamjena x sa 5 - 2 g:
3 (5 - 2 g) - 5 g = 4
Sad kad jednadžba ima samo jednu nepoznatu, moguće ju je riješiti kako bi se pronašla vrijednost y.
Znajući vrijednost y, vrijednost x pronaći ćemo zamjenom vrijednosti y u jednadžbi I.
I → x = 5 - 2g
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Dakle, rješenje sustava je S = {3,1}.
Metoda usporedbe
Metoda usporedbe sastoji se od izolirati nepoznato u dvije jednadžbe i izjednačiti ove vrijednosti.
Primjer:
1. korak: neka ja budem prva jednadžba, a II druga, izolirajmo jednu od nepoznanica u I i II. Odlučujući izolirati nepoznati x, moramo:
2. korak: izjednačite dvije nove jednadžbe, budući da je x = x.
3. korak: zamijenite vrijednost y s -2 u jednoj od jednadžbi.
x = -4 - 3 g
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Dakle, rješenje ovog sustava je skup S = {2, -2}.
Pogledajte i: Koje su razlike između funkcije i jednadžbe?
metoda zbrajanja
Metoda zbrajanja sastoji se od izvođenja množenja svih članaka jedne od jednadžbi, na takav način da, kada dodajte jednadžbu I jednadžbi II, jedna od njezinih nepoznanica jednaka je nuli.
Primjer:
1. korak: pomnoži jednu od jednadžbi tako da koeficijenti budu suprotni.
Imajte na umu da ako pomnožimo jednadžbu II s 2, imamo 4y u jednadžbi II i -4y u jednadžbi I, i to sa zbrojimo I + II, imamo 0y, pa pomnožimo sve pojmove u jednadžbi II s 2 tako da ovo dogoditi se.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2. korak: izvesti zbroj I + 2 · II.
3. korak: zamijenite vrijednost x = 3 u jednu od jednadžbi.
Linearni sustavi s tri jednadžbe 1. stupnja i tri nepoznanice
Kada sustav ima tri nepoznanice, usvajamo druge metode rješavanja. Sve ove metode odnose koeficijente na matrice, a najčešće korištene metode su Crammerovo pravilo ili skaliranje. Za razlučivost u obje metode nužan je matrični prikaz sustava, uključujući sustav 2x2 koji se može prikazati pomoću matrice. Dvije su moguće predstave, cjelovita matrica i nepotpuna matrica:
Primjer:
Sustav
Može biti predstavljen puna matrica
I za nepotpuna matrica
Crammerovo pravilo
Da biste pronašli rješenja za sustav 3x3 s nepoznatim x, y i z, koristeći Crammerovo pravilo, potrebno je izračunati odrednicu nepotpune matrice i njezine varijacije. Dakle, moramo:
D → odrednica nepotpune matrice sustava.
Dx → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac x stupcem neovisnih pojmova.
Dg → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac y stupcem neovisnih pojmova.
Dz → odrednica nepotpune matrice sustava, zamjenjujući stupac z stupcem neovisnih pojmova.
Dakle, da bismo pronašli vrijednost vaših nepoznanica, prvo moramo izračunati determinanta DDx, Dg povezan sa sustavom.
Primjer:
1. korak: izračunaj D.
2. korak: izračunati Dx.
3. korak: tada možemo pronaći vrijednost x, jer:
4. korak: izračunaj Dg.
5. korak: tada možemo izračunati vrijednost y:
6. korak: sada kada znamo vrijednost x i y, u bilo kojem retku možemo pronaći vrijednost z zamjenom vrijednosti x i y i izoliranjem z. Druga je mogućnost izračunati Dz.
Zamjenom x = 0 i y = 2 u prvoj jednadžbi:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Stoga je sistemsko rješenje natječaj (0,2, -1).
Također pristupite: Rješavanje problema jednadžbenim sustavima
skaliranje
Druga metoda rješavanja linearnih sustava je skaliranje, u kojoj koristimo samo kompletnu matricu i operacije između linija kako bismo izolirali njihove nepoznanice. Skalirajmo sustav u nastavku.
1. korak: napiši kompletnu matricu koja predstavlja sustav.
biti L1, L2 i L3 odnosno linije 1, 2 i 3 matrice, izvodit ćemo operacije između L1 i L2 i L1 i L3, tako da rezultat čini pojmove koji su u prvom stupcu drugog i trećeg retka jednaki nuli.
Analizirajući drugi redak matrice, zamijenimo ga rezultatom L2 → -2 · L1 + L2, kako bismo poništili pojam a21.
The21 = -2 · 1 + 2 = 0
The22 = -2 · 2 + 1 = -3
The23 = -2 · (-3) + 1 = 7
The24 =-2 · 10 + 3 = -17
Dakle, L2 bit će 0 -3 7 -17.
Analizirajući treći red matrice, zamijenimo je rezultatom L3 → 3L1 + L2, kako bi se pojam resetirao na31.
The31 = 3 · 1 – 3 = 0
The32 = 3 · 2 + 2 = 8
The33 = 3 · (-3) +1 = -8
The34 = 3 · 10 – 6 = 24
Dakle, L3 bit će 0 8 -8 24.
Imajte na umu da su svi djeljivi sa 8, tako da je L crta3 neka bude jednostavno, podijelimo ga sa 8.
L3 → L3 : 8 bit će: 0 1-1 3.
Tako će nova matrica skalirane jednadžbe biti:
Sada je cilj resetiranje stupca y u trećem redu, izvršit ćemo operacije između L2 i L3, s ciljem resetiranja drugog stupca jednog od njih.
Zamijenit ćemo L3 s L3 → L2 + 3L3.
The31 = 0 + 3 · 0 = 0
The32 = -3 + 3 · 1 = 0
The33 = 7 + 3 · (-1) = 4
The34 = -17 + 3 · 3 = -8
Dakle L3 bit će: 0 0 4 -8.
Nova skalirana matrica bit će:
Sada, kada ponovo predstavimo ovu matricu kao sustav, dodajući x, y i z u stupce, naći ćemo sljedeće:
Tada možemo pronaći vrijednost svake od nepoznanica. Analizirajući jednadžbu III, moramo:
Ako je z = -2, zamijenimo vrijednost z u drugu jednadžbu:
Napokon, u prvoj jednadžbi, zamijenimo vrijednost y i z da bismo pronašli vrijednost x.
Pogledajte i: Sustav nejednakosti 1. stupnja - kako ga riješiti?
klasifikacija linearnog sustava
Linearni sustav je skup linearnih jednadžbi, koji može imati nekoliko nepoznanica i nekoliko jednadžbi. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, bez obzira na broj jednadžbi. postoje tri ocjene za linearni sustav.
- Utvrđeni mogući sustav (SPD): kad imate jedno rješenje.
- Neodređeni mogući sustav (SPI): kad ima beskonačna rješenja.
- nemogući sustav(SI): kad nema rješenja.
riješene vježbe
Pitanje 1 (IFG 2019) Razmotrimo zbroj mjerenja baze i visine u odnosu na tu osnovu trokuta jednaku 168 cm i razliku jednaku 24 cm. Ispravno je tvrditi da su mjere osnove i visine u odnosu na ovu mjeru osnove:
a) 72 cm i 96 cm
b) 144 cm i 24 cm
c) 96 cm i 72 cm
d) 24 cm i 144 cm
Razlučivost
Alternativa C.
Neka su h → visina i b → baza, tada imamo sljedeći sustav:
Metodom zbrajanja moramo:
Da bismo pronašli vrijednost h, zamijenimo b = 96 cm u prvu jednadžbu:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
v = 72 cm
pitanje 2 Nepotpuna matrica koja predstavlja sljedeći linearni sustav je:
Razlučivost
Alternativa C.
Nepotpuna matrica je ona koja ima koeficijente x, y i z, pa će to biti matrica 3x3. Analizirajući alternative, slovo C sadrži matricu 3x3 s ispravnim znakovima.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
