हे दो वैक्टर के बीच डॉट उत्पाद एक वास्तविक संख्या है जो इन वैक्टरों के परिमाण, यानी उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण से संबंधित है। इसकी गणना करने के लिए, उनकी लंबाई और उनके द्वारा बनाए गए कोण को जानना आवश्यक है।
आधार के रूप में समतल का उपयोग करते हुए, एक सदिश एक स्थान, एक तीव्रता, एक दिशा और एक दिशा को इंगित करता है। इसलिए, इसका उपयोग यांत्रिकी (भौतिकी) के अध्ययन में किसी वस्तु पर लागू बल के प्रतिनिधि के रूप में किया जाता है।
वेक्टर का सामान्य प्रतिनिधित्व एक तीर है जो एक बिंदु पर समाप्त होता है। इस बिंदु के निर्देशांक को बिंदु O (0,0) से शुरू होने वाले वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है। हम इसे निरूपित करने के लिए v = (a, b) लिखते हैं। इस प्रकार, सदिश v = (1,2) इस प्रकार खींचा गया है:
मूल से शुरू होने वाला वेक्टर उदाहरण
इस वेक्टर की लंबाई की गणना करने के लिए, इसके द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज और x-अक्ष (या y-अक्ष) पर इसके प्रक्षेपण पर विचार करें, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है:
वेक्टर वी की लंबाई
एक सदिश v की लंबाई कहलाती है वी वेक्टर मानदंड या वेक्टर मॉड्यूल वी और |v| द्वारा निरूपित किया जाता है। ध्यान दें कि सदिश v = (a, b) का मान ठीक ऊपर की आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज के कर्ण का माप है। इस माप की गणना करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:
|वी|2 = द2 + बी2
|वी| = (ए2 + बी2 )
दो वेक्टर डॉट उत्पाद
दो सदिश u और v दिए गए हैं, उनके बीच का आंतरिक उत्पाद. द्वारा दर्शाया गया है और के रूप में परिभाषित किया गया है:
= |u||v|·cosθ
यह दो सदिशों के बीच एक प्रकार का गुणन है, हालांकि, इसे उत्पाद नहीं कहा जाता है क्योंकि यह एक सामान्य गुणन नहीं है, क्योंकि इसमें इन दो वैक्टरों द्वारा गठित कोण शामिल है।
दो सदिशों के बीच का कोण
उपरोक्त परिभाषा से उत्पन्न होने वाला पहला परिणाम दो वैक्टरों के बीच का कोण है। वास्तविक संख्या "डॉट उत्पाद", "यू वेक्टर मानदंड" और "वी वेक्टर मानदंड" के साथ, वैक्टर यू और वी के बीच के कोण की गणना करना संभव है। ऐसा करने के लिए, बस गणना करें:
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= |u||v|·cosθ
= कोस
|यू||वी|
इसलिए, आंतरिक उत्पाद को वैक्टर यू और वी के मानदंडों से विभाजित करते हुए, हम इन दो वैक्टरों के बीच कोसाइन को संदर्भित करने वाली वास्तविक संख्या पाते हैं और इसलिए, उनके बीच का कोण।
ध्यान दें कि यदि दो सदिशों के बीच का कोण सीधा है, तो cosθ शून्य के बराबर है। इसलिए, उपरोक्त उत्पाद का निम्नलिखित परिणाम होगा:
= 0
इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि, दो सदिश u और v दिए जाने पर, वे लंबकोणीय होंगे यदि = 0.
वेक्टर निर्देशांक से गणना की गई आंतरिक उत्पाद
दो सदिशों u = (a, b) और v = (c, d) को ध्यान में रखते हुए, u और v के बीच बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है:
= = a·c + b·d
आंतरिक उत्पाद गुण
सदिश u, v और w और वास्तविक संख्या α को देखते हुए, नोट करें:
मैं) =
इसका मतलब है कि वैक्टर का आंतरिक उत्पाद "कम्यूटेटिव" है।
ii) = +
यह गुण जोड़ पर गुणन के वितरण के बराबर है।
iii) = = α
वास्तविक संख्या α से u और v के बीच आंतरिक उत्पाद की गणना करना αv और u के बीच या v और αu के बीच आंतरिक उत्पाद की गणना के समान है।
iv)
v के साथ v का आंतरिक गुणनफल केवल शून्य होता है यदि v शून्य सदिश है।
वी)
v के साथ v का आंतरिक गुणनफल हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होगा।
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
