के साथ काम समग्र कार्य इसमें बड़े रहस्य नहीं हैं, लेकिन इसके लिए बहुत अधिक ध्यान और देखभाल की आवश्यकता है। जब हम तीन या अधिक कार्यों की एक संरचना के बारे में बात करते हैं, चाहे वे से हों पहली डिग्री या से दूसरी डिग्री, अधिक चिंता होनी चाहिए। कुछ उदाहरणों को देखने से पहले, आइए भूमिका रचना के केंद्रीय विचार को समझते हैं।
कल्पना कीजिए कि आप रियो ग्रांडे डो सुल से अमेज़ॅनस के लिए एक हवाई यात्रा करने का इरादा रखते हैं। एक एयरलाइन तीन हवाई स्टॉपओवर के साथ एक सीधी उड़ान टिकट और दूसरा सस्ता विकल्प प्रदान करती है, जैसा कि निम्नलिखित आरेख में दिखाया गया है:
रियो ग्रांडे डो सुल → साओ पाउलो → गोइआस → Amazonas
यात्रा विकल्पों में से कोई भी इच्छित गंतव्य तक ले जाएगा, और इसी तरह समग्र कार्य करता है। नीचे दी गई छवि देखें:
तीन कार्यों की संरचना कैसे काम करती है इसका उदाहरण
एक उदाहरण लागू करने के लिए हम इस योजना का उपयोग कैसे करते हैं? फिर निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें: एफ (एक्स) = एक्स + 1, जी (एक्स) = 2x - 3 तथा एच (एक्स) = एक्स². रचना एफ ओ जी ओ एच (पढ़ता है: f यौगिक के साथ g यौगिक h. के साथ) के रूप में व्यक्त किए जाने पर अधिक आसानी से व्याख्या की जा सकती है
एफ (जी (एच (एक्स))). फलनों के इस संघटन को हल करने के लिए, हमें अंतरतम संमिश्र फलन या अंतिम रचना से प्रारंभ करना चाहिए, इसलिए, जी (एच (एक्स)). समारोह में जी (एक्स) = 2x - 3, जहाँ कहीं है एक्स, हम के साथ प्रतिस्थापित करेंगे एच (एक्स):जी (एक्स) = 2x - 3
जी (एच (एक्स)) = 2.एच (एक्स) – 3
जी (एच (एक्स)) = 2.(x²) – 3
जी (एच (एक्स)) = 2.x² - 3
अब हम अंतिम रचना करेंगे एफ (जी (एच (एक्स)))। समारोह में एफ (एक्स) = एक्स + 1, जहाँ कहीं है एक्स, हम इसके साथ बदल देंगे जी (एच (एक्स)) = 2.x² - 3:
एफ (एक्स) = एक्स + 1
च (जी (एच (एक्स))) = (2.x² - 3) + 1
च (जी (एच (एक्स))) = 2.x² - 3 + 1
एफ (जी (एच (एक्स))) = 2.x² - 2
आइए यह साबित करने के लिए एक उदाहरण देखें, जैसा कि इस लेख की शुरुआत में उल्लिखित उड़ान के मामले में हुआ था, अगर हम आवेदन करने के लिए एक मूल्य चुनते हैं एफ (जी (एच (एक्स))), रचनाओं में अलग से आवेदन करने पर हमें वही परिणाम प्राप्त होगा। अगर एक्स = 1, हमें करना ही होगा एच (1) यह वैसा ही है जैसे:
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एच (एक्स) = एक्स²
एच (1) = 1²
एच (1) = 1
यह जानते हुए एच (1) = 1, आइए अब का मान ज्ञात करें जी (एच (1)):
जी (एक्स) = 2x - 3
जी (एच (1)) = 2. एच (1) - 3
जी (एच (1)) = 2.1 - 3
जी (एच (1)) = - 1
अंत में, के मान की गणना करते हैं एफ (जी (एच (1))), यह जानते हुए जी (एच (1)) = - 1:
एफ (एक्स) = एक्स + 1
f(g(h(1))) = g(h(1)) + 1
एफ (जी (एच (1))) = - 1 + 1
एफ (जी (एच (1))) = 0
हमने पाया कि एफ (जी (एच (1))) = 0. तो, देखते हैं कि प्रतिस्थापित करते समय हमें वही परिणाम मिलता है या नहीं एक्स = 1 कार्यों की संरचना के सूत्र में जो हमने पहले पाया था: एफ (जी (एच (एक्स))) = 2.x² - 2:
एफ (जी (एच (एक्स))) = 2.x² - 2
च (जी(एच (1))) = 2.(1)² - 2
च (जी(एच (1))) = 2 - 2
एफ (जी (एच (1))) = 0
इसलिए हमें वास्तव में वही परिणाम मिला जो हम प्रदर्शित करना चाहते थे। आइए तीन या अधिक कार्यों की संरचना का एक और उदाहरण देखें:
कार्यों को होने दें: एफ (एक्स) = एक्स² - 2x, जी (एक्स) = - 2 + 3x, एच (एक्स) = 5x³ तथा मैं (एक्स) = - एक्स, संयुक्त कार्य का नियम निर्धारित करें एफ (जी (एच (आई (एक्स))))।
हम इस रचना को अंतरतम समग्र फलन द्वारा हल करना शुरू करेंगे, एच (एक्स)):
मैं (एक्स) = - एक्स तथा एच (एक्स) = 5x³
एच (एक्स) = 5x³
एच(मैं (एक्स)) = 5.[मैं (एक्स)]³
एच(मैं (एक्स)) = 5.[- एक्स]³
एच (आई (एक्स)) = - 5x³
आइए अब रचना को हल करें जी (एच (आई (एक्स))):
एच (आई (एक्स)) = - 5x³ तथा जी (एक्स) = - 2 + 3x
जी (एक्स) = - 2 + 3x
जी (एच (एक्स))) = – 2 + 3.[एच (एक्स))]
जी (एच (एक्स))) = – 2 + 3.[- 5x³]
जी (एच (आई (एक्स))) = - 2 - 15x³
अब हम संयुक्त फलन का नियम निर्धारित कर सकते हैं एफ (जी (एच (आई (एक्स))))):
जी (एच (आई (एक्स))) = - 2 - 15x³ तथा एफ (एक्स) = एक्स² - 2x
एफ (एक्स) = एक्स² - 2x
च (जी (एच (आई (एक्स)))) = [जी (एच (आई (एक्स)))]² - 2[जी (एच (आई (एक्स)))]
च (जी (एच (आई (एक्स)))) = [-2 - 15x³]² - 2[- 2 - 15x³]
च (जी (एच (आई (एक्स)))) = 4 - 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
एफ (जी (एच (आई (एक्स)))) = 225x6 - 30x³ + 8
इसलिए, संयुक्त कार्य का कानून एफ (जी (एच (आई (एक्स))))) é एफ (जी (एच (आई (एक्स)))) = 225x6 - 30x³ + 8
अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक
क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखो:
रिबेरो, अमांडा गोंसाल्वेस। "तीन या अधिक कार्यों की संरचना"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-ou-mais-funcoes.htm. 28 जून, 2021 को एक्सेस किया गया।
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