घातीय कार्य: प्रकार, ग्राफ, अभ्यास

घातांक प्रकार्य तब होता है जब, इसके गठन कानून में, चर घातांक में होता है, जिसमें डोमेन और काउंटर-डोमेन होते हैं वास्तविक संख्याये. घातांक फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्या है, और काउंटर डोमेन गैर-शून्य सकारात्मक वास्तविक संख्या है। आपके प्रशिक्षण कानून का वर्णन द्वारा किया जा सकता है एफ (एक्स) =^एक्स, किस पर 1 के अलावा एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

हे ग्राफिक एक घातांकीय फलन कार्तीय तल के पहले और दूसरे चतुर्थांश में हमेशा होगा, और बढ़ सकता है, जब 1 से बड़ी संख्या है या घट रही है जब 1 से कम धनात्मक संख्या है। उलटा काम करना घातांकीय फलन का लघुगणक फलन है, जो इन फलनों के रेखांकन को हमेशा सममित बनाता है।

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घातांकीय फलन का वक्र

एक घातीय कार्य क्या है?

जैसा कि नाम से पता चलता है, घातांक शब्द घातांक से जुड़ा हुआ है। तो घातीय फ़ंक्शन परिभाषा है a समारोह जिसका डोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, और काउंटरडोमेन गैर-शून्य धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।,  द्वारा वर्णित: ℝ → *₊. इसका गठन कानून समीकरण f (x) =. द्वारा वर्णित है ^एक्स, किस पर यह कोई वास्तविक संख्या है, धनात्मक, शून्य नहीं और आधार नाम दिया गया है।

उदाहरण:

गठन कानून में, f (x) को y के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है और अन्य कार्यों की तरह, यह है आश्रित चर के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसका मान x पर निर्भर करता है, जिसे एक चर के रूप में जाना जाता है। स्वतंत्र।

घातीय कार्य प्रकार

घातीय कार्यों को दो अलग-अलग मामलों में वर्गीकृत किया जा सकता है। फ़ंक्शन के व्यवहार को ध्यान में रखते हुए, यह हो सकता है आरोही या अवरोही.

एक घातांकीय फलन को वृद्धि कहते हैं, यदि x का मान बढ़ने पर f(x) का मान भी बढ़ता है। यह तब होता है जब आधार 1 से बड़ा होता है, अर्थात: > 1.

उदाहरण:

बढ़ते हुए घातीय फलन का ग्राफ

एक घातांकीय फलन को घटता हुआ माना जाता है, यदि x का मान बढ़ने पर f(x) का मान घटता है। यह तब होता है जब आधार 0 और 1 के बीच की संख्या होती है, अर्थात 0 < < 1.

उदाहरण:

अवरोही घातांक फ़ंक्शन का ग्राफ़

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एक्सपोनेंशियल फंक्शन ग्राफ

किसी घातांकीय फलन का आलेखीय निरूपण आकर्षित करने के लिए, कुछ डोमेन मानों के लिए छवि ढूँढना आवश्यक है। घातांकीय फलन के ग्राफ में. की तुलना में बहुत अधिक वृद्धि की विशेषता होती है रैखिक कार्य, यदि बढ़ रहा है, या अधिक घटने पर, घट रहा है।

उदाहरण:

ए) फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं: f (x) = 2^एक्स.

>1 से, तो यह फलन बढ़ रहा है। ग्राफ बनाने के लिए, आइए नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए अनुसार x को कुछ मान दें:

अब जब हम फलन के कुछ बिंदुओं को जानते हैं, तो उन्हें. में चिह्नित करना संभव है कार्तीय विमान और घातीय फ़ंक्शन वक्र प्लॉट करें।

बी) निम्नलिखित फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं:

इस मामले में, फ़ंक्शन अवरोही है, क्योंकि आधार 0 और 1 के बीच की संख्या है, तो ग्राफ़ अवरोही होगा।

कुछ संख्यात्मक मान ज्ञात करने के बाद, कार्तीय तल में फलन के ग्राफ को निरूपित करना संभव है:

घातीय कार्य गुण

→ पहली संपत्ति

किसी भी घातीय फलन में, चाहे उसका आधार मान कुछ भी हो द, हमें करना ही होगाच (0) = 1. आखिरकार, हम जानते हैं कि यह एक है शक्ति संपत्ति, अर्थात, 0 तक बढ़ाई गई प्रत्येक संख्या 1 है। इसका मतलब है कि ग्राफ हर बार ऊर्ध्वाधर अक्ष को बिंदु (0.1) पर काटेगा।

→ दूसरी संपत्ति

घातीय कार्य है सुई लगानेवाला. डेटा x₁ और x₂ ऐसा कि x₁ एक्स₂, इसलिए छवियां भी भिन्न होंगी, अर्थात f(x₁) एफ (एक्स₂), जिसका अर्थ है कि प्रत्येक छवि मान के लिए, उस छवि से मेल खाने वाले डोमेन में एक ही मान होता है।

इंजेक्टिव होने का मतलब है कि y के अलावा अन्य मानों के लिए, x का एक ही मान होगा जो f(x) को y के बराबर बनाता है।

→ तीसरी संपत्ति

फ़ंक्शन के व्यवहार को उसके आधार मान के अनुसार जानना संभव है। यदि आधार 1 से बड़ा है तो ग्राफ बढ़ेगा ( > 1) और घट रहा है यदि आधार 1 से कम और 0 से कम (0 < से <1) है।

→ चौथी संपत्ति

हे घातांक फलन का ग्राफ हमेशा पहले और दूसरे चतुर्थांश में होता है, क्योंकि फ़ंक्शन का काउंटरडोमेन नॉनज़ेरो पॉजिटिव रियल है।

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घातीय फ़ंक्शन और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

चूंकि घातांकीय फलन एक ऐसा फलन है जो व्युत्क्रम स्वीकार करता है, घातांकीय फलन और लघुगणकीय फलन के बीच यह तुलना अपरिहार्य है। पता चला कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातांक का व्युत्क्रम कार्य है। इन फलनों के ग्राफ x-अक्ष समद्विभाजक के सापेक्ष सममित हैं। व्युत्क्रम फलन होने का अर्थ है कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन घातांकीय फलन के विपरीत करता है, अर्थात् घातांकीय फलन में, यदि f (x) = y, तो लघुगणकीय फलन, प्रतिलोम होने के कारण, f द्वारा दर्शाया जाएगा^-1 f^-1 (वाई) = एक्स।

घातांकीय फलन का ग्राफ लघुगणकीय फलन के ग्राफ के सममित होता है।

हल किए गए अभ्यास

(एनेम २०१५) एक कंपनी के श्रमिक संघ का सुझाव है कि काम के लिए समर्पित प्रत्येक वर्ष के लिए एक निश्चित प्रतिशत वृद्धि का प्रस्ताव करते हुए, वर्ग की वेतन मंजिल १,८००.०० रुपये है। वर्षों में सेवा की लंबाई (टी) के एक समारोह के रूप में वेतन प्रस्ताव (ओं) से संबंधित अभिव्यक्ति एस (टी) = 1800·(1,03)^तो.

संघ के प्रस्ताव के अनुसार, इस कंपनी के 2 वर्ष की सेवा वाले पेशेवर का वेतन रियास में होगा,

क) 7,416.00

बी) 3,819.24

ग) 3,709.62

घ) 3,708.00

ई) १९०९.६२

संकल्प:

हम फ़ंक्शन की छवि की गणना करना चाहते हैं जब t = 2, यानी s(2)। सूत्र में t = 2 रखने पर हम पाएंगे कि:

एस (2) = 1800 · (1.03)²

एस(2) = १८०० · १.०६०९

एस(2) = १९०९.६२

वैकल्पिक ई

2) (एनेम 2015) औद्योगिक उत्पादन प्रणाली में प्रौद्योगिकियों को जोड़ने का उद्देश्य लागत कम करना और उत्पादकता बढ़ाना है। संचालन के पहले वर्ष में, एक उद्योग ने एक विशेष उत्पाद की 8000 इकाइयों का निर्माण किया। अगले वर्ष, उसने प्रौद्योगिकी में निवेश किया, नई मशीनों का अधिग्रहण किया और उत्पादन में 50% की वृद्धि की। यह अनुमान है कि यह प्रतिशत वृद्धि आने वाले वर्षों में दोहराई जाएगी, जिससे 50% की वार्षिक वृद्धि सुनिश्चित होगी। मान लीजिए P उद्योग के संचालन के वर्ष t में निर्मित उत्पादों की वार्षिक मात्रा है।

यदि अनुमान तक पहुँच जाता है, तो वह कौन सा व्यंजक है जो उत्पादित इकाइयों की संख्या निर्धारित करता है पीके कार्य में तो, के लिये तो ≥ 1?

द) पी(तो) = ०.५ · टी ^-1 + 8 000

बी)पी(तो) = ५० · टी ^-1 + 8000

सी)पी(तो) = 4 000 · टी^-1 + 8 000

घ)पी(तो) = 8 000 · (0,5)^{टी 1}

तथा)पी(तो) = 8 000 · (1,5)^{टी 1}

संकल्प:

ध्यान दें कि वर्ष के बीच एक संबंध है तो और एक निश्चित उत्पाद की मात्रा पी यह जानते हुए कि प्रत्येक वर्ष के लिए ५०% की वृद्धि होती है, इसका अर्थ है कि, पहले और बाद के एक वर्ष के उत्पादन की तुलना करते समय, दूसरे का मूल्य १५०% से मेल खाता है, जो १.५ द्वारा दर्शाया गया है। यह जानते हुए कि प्रारंभिक उत्पादन 8000 है और पहले वर्ष में, यह उत्पादन था, हम इस स्थिति का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं:

• पहले वर्ष में, अर्थात्, यदि t= 1 → s (t) = 8 000।

• दूसरे वर्ष में, यदि t = 2 → पी(2) = 8 000 · 1,5.

• तीसरे वर्ष में, यदि t = 3 → पी(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².

• t वर्षों के बाद, हमारे पास होगा पी(तो) = 8 000 · (1,5)^{टी 1}.

वैकल्पिक ई

राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm