घटा हुआ सीधा समीकरण कार्तीय तल में एक सीधी रेखा के निरूपण को सुगम बनाता है। पर जीएमेट्री विश्लेषणात्मक, इस निरूपण को करना और समीकरण y = mx + n से रेखा का वर्णन करना संभव है, जहाँ म ढलान है और नहीं न रैखिक गुणांक है। इस समीकरण को खोजने के लिए, रेखा पर दो बिंदुओं या वामावर्त दिशा में रेखा और x अक्ष के बीच बने एक बिंदु और कोण को जानना आवश्यक है।
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सीधी रेखा का घटा हुआ समीकरण क्या होता है?
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, हम समतल आकृतियों का वर्णन करने के लिए एक गठन कानून की तलाश करते हैं, जैसे कि परिधि, एक दृष्टान्त, रेखा ही, दूसरों के बीच में। रेखा में समीकरण की दो संभावनाएं हैं, रेखा का सामान्य समीकरण और सीधी रेखा का घटा हुआ समीकरण।
रेखा का घटा हुआ समीकरण है वाई = एमएक्स + एन, किस पर एक्स तथा आप क्रमशः स्वतंत्र चर और आश्रित चर हैं; म ढलान है, और नहीं न रैखिक गुणांक है। इसके अलावा, म तथा नहीं न वास्तविक संख्याएँ हैं। रेखा के कम समीकरण के साथ, यह गणना करना संभव है कि कौन से बिंदु इस रेखा पर हैं और कौन से नहीं।
कोणीय गुणांक
हे ढाल हमें रेखा के व्यवहार के बारे में बहुत कुछ बताता है, क्योंकि, इससे रेखा के ढलान का विश्लेषण करना और यह पहचानना संभव है कि क्या यह है बढ़ रहा है, घट रहा है या स्थिर है. इसके अलावा, ढलान मूल्य जितना अधिक होगा, उतना ही अधिक होगा कोण सीधी रेखा और x अक्ष के बीच, वामावर्त।
रेखा के ढलान की गणना करने के लिए, दो संभावनाएं हैं। सबसे पहले यह जानना है कि यह वैसा ही है जैसा स्पर्शरेखा कोण से α:
एम = tgα |
जहाँ α रेखा और x अक्ष के बीच का कोण है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
इस स्थिति में, केवल कोण का मान ज्ञात कीजिए और ढाल ज्ञात करने के लिए उसकी स्पर्श रेखा की गणना कीजिए।
उदाहरण:
निम्नलिखित रेखा के ढलान का मान क्या है?
संकल्प:
हे दूसरी विधि ढलान की गणना करने के लिए रेखा से संबंधित दो बिंदुओं को जानना है। चलो A(x1Y y1) और बी (एक्स2Y y2), तो ढलान की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
उदाहरण:
represented में दर्शाई गई रेखा के ढलान का मान ज्ञात कीजिए कार्तीय विमान अगला। ए (-1, 2) और बी (2,3) पर विचार करें।
संकल्प:
जैसा कि हम दो बिंदुओं को जानते हैं, हमें यह करना होगा:
यह निर्णय लेने के लिए कि रेखा के ढलान की गणना करने के लिए किस विधि का उपयोग करना है, आपको पहले करना होगा विश्लेषण करें कि जानकारी क्या है जो हमारे पास है। यदि कोण α का मान ज्ञात हो, तो बस इस कोण की स्पर्श रेखा की गणना करें; अब, यदि हम केवल दो बिंदुओं का मान जानते हैं, तो दूसरी विधि से गणना करना आवश्यक है।
ढलान हमें यह विश्लेषण करने की अनुमति देता है कि रेखा बढ़ रही है, घट रही है या स्थिर है। इस प्रकार,
मी > 0, रेखा बढ़ती जा रही है;
m = 0 रेखा स्थिर रहेगी;
मी <0 रेखा घटती जाएगी।
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रैखिक गुणांक
हे रैखिक गुणांक n x = 0 होने पर कोटि मान है। इसका मतलब है कि n उस बिंदु के लिए y मान है जहां रेखा y अक्ष को काटती है। आलेखीय रूप से, n का मान ज्ञात करने के लिए, बिंदु (0,n) पर y का मान ज्ञात कीजिए।
घटी हुई रेखा समीकरण की गणना कैसे करें
रेखा का घटा हुआ समीकरण ज्ञात करने के लिए. का मान ज्ञात करना आवश्यक है म यह से है नहीं न. ढलान का मान ज्ञात करके और इसके किसी एक बिंदु को जानकर, रैखिक गुणांक को आसानी से खोजना संभव है।
उदाहरण:
- बिंदु A (2,2) और B (3,4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
→ पहला कदम: ढलान का पता लगाएं एम।
→ दूसरा चरण: n का मान ज्ञात कीजिए।
n का मान ज्ञात करने के लिए, हमें एक बिंदु (हम बिंदु A और B के बीच चयन कर सकते हैं) और ढलान का मान चाहिए।
हम जानते हैं कि घटा हुआ समीकरण y = mx + n है। हम m = 2 की गणना करते हैं और बिंदु B(3,4) का उपयोग करके, हम x, y और m के मान को प्रतिस्थापित करेंगे।
वाई = एमएक्स + एन
४ = २·३ + n
4 = 6 + एन
4 - 6 = एन
एन = - 2
→ तीसरा चरण: लिखेंगे समीकरण value के मान की जगह नहीं न तथा म, जो अब ज्ञात हैं।
वाई = 2x - 2
यह हमारी सीधी रेखा का घटा हुआ समीकरण होगा।
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हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (एनेम 2017) एक महीने में एक इलेक्ट्रॉनिक्स स्टोर पहले हफ्ते में मुनाफा कमाने लगता है। ग्राफ़ महीने की शुरुआत से 20 तारीख तक उस स्टोर के लाभ (L) को दर्शाता है। लेकिन यह व्यवहार अंतिम दिन, ३० तारीख तक फैला हुआ है।
समय (t) के फलन के रूप में लाभ (L) का बीजगणितीय निरूपण है:
ए) एल (टी) = 20t + 3000
बी) एल (टी) = 20t + 4000
सी) एल (टी) = 200t
डी) एल (टी) = 200t - 1 000
ई) एल (टी) = 200t + 3000
संकल्प:
ग्राफ का विश्लेषण करते हुए, यह देखना संभव है कि हमारे पास पहले से ही रैखिक गुणांक n है, क्योंकि यह वह बिंदु है जहां रेखा y अक्ष को छूती है। इस मामले में, n = - 1000।
अब बिंदु A (0, -1000) और B (20, 3000) का विश्लेषण करते हुए, हम m के मान की गणना करेंगे।
इसलिए, एल (टी) = 200 टी - 1000।
पत्र डी
प्रश्न 2 - रेखीय गुणांक के मान और राइजिंग लाइन के कोणीय गुणांक के बीच का अंतर जो बिंदु (2,2) से होकर जाता है और x अक्ष के साथ 45º का कोण बनाता है:
ए) 2
बी) 1
सी) 0
घ) -1
ई) -2
संकल्प:
→ पहला चरण: ढलान की गणना करें।
चूँकि हम कोण जानते हैं, हम जानते हैं कि:
एम = tgα
एम = टीजी45º
एम = 1
→ दूसरा चरण: रैखिक गुणांक का मान ज्ञात कीजिए।
मान लें कि m = 1 और A (2.2), घटे हुए समीकरण में प्रतिस्थापन करते हुए, हमारे पास है:
वाई = एमएक्स + एन
2 = 2 ·1 + n
२= २ + n
2 - 2 = एन
एन = 0
→ तीसरा चरण: अनुरोध किए गए क्रम में अंतर की गणना करें, अर्थात n - m।
0 – 1 = –1
पत्र डी
राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-reduzida-reta.htm
