लोगारित्म न केवल के क्षेत्र के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपकरण है गणित, क्योंकि इसमें भूगोल, रसायन विज्ञान और कंप्यूटिंग जैसे विज्ञान के कई क्षेत्रों में आवेदन है।
ऐतिहासिक रूप से लघुगणक खातों की सुविधा के लिए उत्पन्न होता है जो कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में अक्सर दिखाई देते हैं। जॉन नेपियर लॉगरिदम के अध्ययन में अग्रणी थे, और परिवर्तन करने में सक्षम ऑपरेशन को विकसित करने में कामयाब रहे उत्पादों में योग, में विभाजन घटाव तथा शक्ति गुणन में।
इस ऑपरेशन को परिभाषित करते हुए, समय के साथ अन्य गणितज्ञों ने औपचारिक रूप दिया परिभाषाएं और गुण, इसके अलावा, प्रसिद्ध लॉग टेबल.
लघुगणक की परिभाषा
लॉगरिदम फ़ंक्शन (दाएं) और इसके घातीय प्रतिलोम (बाएं) के ग्राफ़ को स्केच करें।
दो पर विचार करें वास्तविक संख्याये सकारात्मक तथा ख, साथ से करने के लिए 0. का लघुगणक ख बेस पर संख्या है एक्स यदि और केवल यदि, बढ़ाया गया एक्स संख्या के बराबर है ख.
शब्दावली:
→ आधार
बी → लघुगणक
एक्स → लघुगणक
उदाहरण देखें:
जब एक लघुगणक का आधार 10 के बराबर हो, तो उसे कहते हैं दशमलव लघुगणक। दशमलव लॉग दर्ज करते समय, आधार 10 लिखना आवश्यक नहीं है। यह सहमति है कि:
यह भी पढ़ें: दशमलव लघुगणक प्रणाली
लघुगणक की गणना कैसे करें?
लघुगणक की गणना करने के लिए, हमें a को देखना होगा संख्या, जब हम आधार बढ़ाते हैं, तो लघुगणक में परिणाम होता है. पिछले उदाहरण में आधार ६ में ३६ के लघुगणक को एक उदाहरण के रूप में लेते हुए, हमें एक संख्या ज्ञात करनी चाहिए, जब हम आधार ६ बढ़ाते हैं, तो परिणाम ३६ होता है। 6 की तरह2 = 36, उत्तर 2 के साथ। आइए अधिक उदाहरण देखें:
१) लॉग १०००। इस लघुगणक की गणना करने के लिए, हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होगी, जिसे बढ़ाकर 10 कर दिया जाए, जो 1000 के बराबर हो, अर्थात 10एक्स = 1000.
घातीय समीकरण को हल करते हुए, हमारे पास है:
10एक्स=1000
10एक्स = 103
एक्स = 3
इसलिए,
1. लघुगणक की गणना करें:
हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होगी, जो 7 के मूल तक एक उनतालीसवें के बराबर हो। समीकरण को हल करते हुए, हमारे पास है:
अधिक पढ़ें: घातांक समीकरण - घातांक में अज्ञात के साथ समीकरण
लघुगणक अस्तित्व की स्थिति
निम्नलिखित लघुगणक पर विचार करें:
व्यंजक केवल तभी परिभाषित होता है जब आधार शून्य से बड़ा हो और एक से भिन्न हो और जब आधार शून्य से बड़ा हो, अर्थात्:
ए> 0 और ए 0
बी > 0
लघुगणक का स्वामित्व
नीचे मुख्य देखें। लघुगणक के गुण. यहां उद्धृत सभी लघुगणक अस्तित्व की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।
संपत्ति 1
दो कारकों के गुणनफल का लघुगणक इन कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
संपत्ति 2
दो संख्याओं के बीच भागफल का लघुगणक उन संख्याओं के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।
संपत्ति 3
एक शक्ति का लघुगणक उस शक्ति के घातांक को उस शक्ति के आधार के लघुगणक से गुणा करने के बराबर होता है, जहाँ हम लघुगणक का आधार रखते हैं।
संपत्ति 4
एक रूट का लॉगरिदम, लॉगरिदम से गुणा किए गए रूट के इंडेक्स के व्युत्क्रम के बराबर होता है, जहां हम आधार भी रखते हैं।
संपत्ति 5
किसी संख्या का लघुगणक, किसी आधार में घात तक बढ़ाए जाने पर, उस आधार के घातांक के व्युत्क्रम के गुणन के बराबर होता है।
अधिक जानते हैं: के आवेदनogarithms: उदाहरण देखें
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (फुवेस्ट - एसपी) यदि x5 = 1000 और बी3 = 100, तो आधार b पर x का लघुगणक है:
ए) 0.5
बी) 0.9
सी) 1.2
डी) 1.5
ई) 2.0
समाधान
चूँकि संख्याएँ 1000 और 100 को आधार 10 में लिखा जा सकता है, हमारे पास है
x के लघुगणक को आधार b में प्रतिस्थापित करना और परिभाषा को लागू करना, हमारे पास है:
प्रश्न 2 - (एनेम) किसी विलयन की हाइड्रोजेनिक क्षमता (पीएच) को सूचकांक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसकी अम्लता, तटस्थता या क्षारीयता को इंगित करता है। यह इस प्रकार पाया जाता है:
हो रहा है+ उस घोल में हाइड्रोजन आयनों की सांद्रता। किसी विलयन का pH, जहाँ H+ = 1,0 ·10-9, é:
समाधान:
एच मान को बदलना+ पीएच सूत्र में, हमारे पास है:
L.do रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
