इसे परिकलित करें कारख़ाने का किसी संख्या का केवल तभी अर्थ होता है जब हम प्राकृत संख्याओं के साथ कार्य कर रहे होते हैं। यह ऑपरेशन भारत में काफी आम है संयुक्त विश्लेषणव्यवस्थाओं, क्रमपरिवर्तन, संयोजनों और गिनती से जुड़ी अन्य समस्याओं की गणना की सुविधा प्रदान करना। भाज्य है प्रतीक "!" द्वारा दर्शाया गया है। हम इसे n के रूप में परिभाषित करते हैं! (एन फैक्टोरियल) से अपने सभी पूर्ववर्तियों द्वारा n का गुणन जब तक आप 1 तक नहीं पहुंच जाते। नहीं न! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
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फैक्टोरियल क्या है?
फैक्टोरियल कॉम्बीनेटरियल विश्लेषण के अध्ययन और विकास के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण ऑपरेशन है। गणित में, उसके बाद की संख्या विस्मयादिबोधक चिह्न (!) भाज्य के रूप में जाना जाता है, उदाहरण के लिए x! (एक्स फैक्टोरियल)।
हम a. के भाज्य के रूप में जानते हैं प्राकृतिक संख्या शून्य को छोड़कर इस संख्या को इसके पूर्ववर्तियों से गुणा करना, अर्थात:
नहीं न! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
यह उल्लेखनीय है कि, इस ऑपरेशन को समझने के लिए, n एक प्राकृत संख्या है
तथ्यात्मक गणना
किसी संख्या का भाज्य ज्ञात करने के लिए, केवल गुणनफल की गणना करें। यह भी ध्यान दें कि फैक्टोरियल एक ऑपरेशन है, जब n का मान बढ़ाओ, परिणाम भी बहुत बढ़ जाएगा.
उदाहरण:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:
0! = 1
1! = 1
फैक्टोरियल संचालन
फैक्टरियल ऑपरेशंस को हल करने के लिए, सावधान रहना महत्वपूर्ण है कि कोई गलती न हो। जब हम दो गुणनखंडों को जोड़ना, घटाना या गुणा करना चाहते हैं, तो उनमें से प्रत्येक की अलग-अलग गणना करना आवश्यक है। केवल विभाजन के पास सरलीकरण करने के विशिष्ट तरीके हैं। ऑपरेशन करने और फैक्टोरियल रखने की गलती न करें, या तो जोड़ और घटाव के लिए या गुणा के लिए।
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
इनमें से किसी भी ऑपरेशन को हल करते समय, हमें प्रत्येक फैक्टोरियल की गणना करनी चाहिए।
उदाहरण:
ए) २! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
बी 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
ग) ७! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
यह भी देखें: फैक्टोरियल के साथ समीकरण कैसे हल करें?
फैक्टोरियल सरलीकरण
विभाजन काफी आवर्तक हैं। के सूत्रों में मेलपुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था और क्रमपरिवर्तन, हम हमेशा भाज्य से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए सरलीकरण का सहारा लेंगे। उसके लिए, आइए कुछ चरणों का पालन करें।
उदाहरण:
पहला कदम: सबसे बड़े भाज्य की पहचान करें — इस मामले में, यह 8 है! अब, हर को देखते हुए, जो कि 5 है!
एक संख्या n का भाज्य, अर्थात n!, को n से k! के गुणन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार,
नहीं न! = n·(n -1 ) · (n-2 ) · … · k!, तो चलिए 8 को फिर से लिखते हैं! 8 से 5 के गुणन की तरह!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
तो चलिए कारण को फिर से लिखते हैं:
दूसरा चरण: फिर से लिखने के बाद कारण, 5 से हर के साथ अंश को सरल बनाना संभव है! यह अंश और हर दोनों में है। सरलीकरण के बाद, बस गुणा करें।
उदाहरण 2:
संयोजन और कारक विश्लेषण
प्रदर्शन करते समय संयोजक विश्लेषण में आगे का अध्ययन, एक संख्या का भाज्य हमेशा दिखाई देगा. संयोजक विश्लेषण में मुख्य समूह, जो क्रमपरिवर्तन, संयोजन और व्यवस्था हैं, अपने सूत्रों में किसी संख्या के भाज्य का उपयोग करते हैं।
परिवर्तन
परिवर्तन और यह एक सेट के सभी तत्वों का पुनर्क्रमण। क्रमचय की गणना करने के लिए, हम भाज्य का सहारा लेते हैं, क्योंकि n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की गणना निम्न द्वारा की जाती है:
पीनहीं न = एन!
उदाहरण:
कितने विपर्यय क्या हम HEITOR नाम से निर्माण कर सकते हैं?
यह एक सामान्य क्रमपरिवर्तन समस्या है। जैसा कि नाम में 6 अक्षर हैं, संभावित विपर्यय की संख्या की गणना करने के लिए, बस P. की गणना करें6.
पी6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
साथ ही पहुंचें: दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन: इसे कैसे हल करें?
व्यवस्था
गणना व्यवस्था इसके लिए किसी संख्या के भाज्य में महारत हासिल करने की भी आवश्यकता होती है। व्यवस्था, क्रमपरिवर्तन की तरह, एक पुनर्क्रमण का गठन है। फर्क है, व्यवस्था में, हम सेट के हिस्से को फिर से व्यवस्थित कर रहे हैं, अर्थात्, हम यह जानना चाहते हैं कि एक की मात्रा k चुनकर हम कितने संभावित पुन: क्रमांकन बना सकते हैं सेट एन तत्वों के साथ।
उदाहरण:
एक कंपनी में, संस्थान का प्रबंधन करने के लिए 6 उम्मीदवार होते हैं, और निदेशक और उप निदेशक के पदों के लिए दो का चयन किया जाएगा। यह जानते हुए कि वे वोट से चुने जाएंगे, कितने संभावित परिणाम हैं?
इस मामले में, हम 2 से 2 में से 6 की व्यवस्था की गणना करेंगे, क्योंकि दो रिक्तियों के लिए 6 उम्मीदवार हैं।
मेल
संयोजन में, दूसरों की तरह, किसी संख्या के भाज्य में महारत हासिल करना आवश्यक है। हम संयोजन के रूप में परिभाषित करते हैं आप समुच्चय के उपसमुच्चय. अंतर यह है कि, संयोजन में, कोई पुन: क्रम नहीं होता है, क्योंकि आदेश महत्वपूर्ण नहीं है. इसलिए हम गणना कर रहे हैं कि k तत्वों के साथ हम n तत्वों के एक सेट में कितने उपसमुच्चय बना सकते हैं।
उदाहरण:
कक्षा का प्रतिनिधित्व करने के लिए 3 छात्रों की एक समिति का चयन किया जाएगा। यह जानते हुए कि 5 उम्मीदवार हैं, कितने आयोग बन सकते हैं?
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हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - किसी संख्या के भाज्य के बारे में, निम्नलिखित कथनों का न्याय कीजिए।
मैं)। 0! + 1! = 2
द्वितीय)। 5! - 3! = 2!
III) २! · 4! = 8
ए) केवल मैं सच है।
बी) केवल II सत्य है।
सी) केवल III सत्य है।
डी) केवल I और II सत्य हैं।
ई) केवल II और II सत्य हैं।
संकल्प
वैकल्पिक ए.
मैं) सच।
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) झूठा।
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) झूठा।
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
प्रश्न 2 - (यूएफएफ) क्या उत्पाद २० · १८ · १६ ·१४ … · ६ · ४ · २ के बराबर है?
ए) 20:2
बी) २ · १०!
सी) 20:210
डी) 210· 10!
ई) 20!: 10!
संकल्प
वैकल्पिक डी.
2 से 20 तक सभी सम संख्याओं के गुणनफल को देखने पर, हम जानते हैं कि:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
तो हम 2. के रूप में फिर से लिख सकते हैं10 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक